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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 {yze!3}  
=^wsU1f.h  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. y;j!!50P  
[?R78_  
　　1、三角函数本质： :SvPw)   
/+@<wE+  
　　三角函数的本质来源于定义 0r..Howb.  
re YP2"  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。  ]WKX!  
B:zB6R  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 oS(5AV}Jg  
xp+^>(^>F  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Emy{e|fR`;  
E$2gt'd[  
　　推导： 0[."P?T  
>E,mW']  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 }cCxWI Gf  
G -29%76f  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) J<b=8Rtz  
RrM2XCtK  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) PX \h0  
0X PV~  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 x2 Z\oB)  
BTqQ  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） yL1(FN:L  
qP,JAW (U  
　　[1] eb\,eQQvc  
/K?8 t  
　　两角和公式 KudPrx|1Mn  
t\Q;~&  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 1?,T[i[  
ZWS:,!{  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  0`G uo[  
V`u.FSW}  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB f5 D:PT|  
'uM}uWciT  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 5'}.'ov,  
IlmF;AUB)  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 5{LhRtYM1  
+bT^ -!U  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) lq_$)h~2  
$3bt[TM,  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ecH.fam  
L H896V<  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Gk &Y  
@8M~#e\2s  
倍角公式 YZ'-FM"  
B8PI:_He\v  
　　Sin2A=2SinA•CosA rkb ks\  
_z`|>Hz4e  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 +V7%_  
ph"z,7)B%p  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） z8pc-UL  
h>H!"3  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 68qpdC/3V:  
Df P hMy  
三倍角公式 zE*JVKZk'  
P!#s~E  
　　 Ksq{^.-(N  
8b4]Vz  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ~8m%8#SN  
8r%Y)J  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) lA>)Dx  
)c#l~]^  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) OC}T$xjH  
hg,Lmn(r  
三倍角公式推导 hkZ-.w(VwO  
)f CU &  
　　sin3a BPu`H}l~  
f3n#{"v  
　　=sin(2a+a) 1Kqz MSW  
#;%~..$M  
　　=sin2acosa+cos2asina 8oJ"24aC  
->_=%# \F7  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina tT<s'S<  
.C^n_@i6  
　　=3sina-4sin³a ?95\bV  
>~siWg  
　　cos3a 3J e/gGV  
&C%ux/m  
　　=cos(2a+a) Y0bHxhC+  
`-.#vq68X  
　　=cos2acosa-sin2asina 2)X:/(&ZC  
=7s9VD  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa D T"G   
I5n-gY&V  
　　=4cos³a-3cosa AEXZ<xf=  
JT (m  
　　sin3a=3sina-4sin³a otf`!K-pJ  
' @$( ~r  
　　=4sina(3/4-sin²a) ~CWI(|  
pHG XNf  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] _^K!\Gp J  
_ L$]>]  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) :ZAeC c  
5H:X24r  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Fe7qS{I_{\  
MX:R /?$|  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] M+]>&j  
w 0D3{  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) nzm(Ik8  
B2M2tOPf  
　　cos3a=4cos³a-3cosa <K d^e&  
2>E~ "620  
　　=4cosa(cos²a-3/4) %DBV3:Ho  
QOA 4=sC  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] h'S!4L}a  
9TB9~C,6  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) m"^bL)@7/U  
l>2KRz\X  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) :HK Ubl7  
|o/qk"?  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 4=hVI=r#Q  
=BDnpmFcD  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) +7hUI  
H|/q=  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] u("O|soj  
{;]oC(  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ZD +guY9  
G-$"`J^D  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) s M&JIp  
+1Wh_m47'  
　　上述两式相比可得 k( sQ?iYQ  
 'Rr7~S  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) f g`n7uN  
`#'k{FG  
半角公式 "MCXt^  
v + M  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); qX8oJYutg  
,F Gi WGg  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ;TIBv% ?  
n_X*8\Q  
和差化积 !*dXo  
t8J}DgG  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] vX4X?VA  
=8=se]9A  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] )e`J5 %a]f  
!y/a3hyP  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ;j"3"~aO  
\JQJm92  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] `|glu)p~K{  
K~(]zVI X  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Kf* )_\  
%ein* r G  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 5rY4'r N  
]+SD D  
积化和差 0gF/"5^b  
(>r;II >  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] '@kDB  
z+f#,   
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] >7H)'du6  
\6(;[uXt n  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] wrFu }xu  
bt-W}~U3>  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] "" +  
Cl5Sf AAI  
诱导公式 | dO 8568  
sX^vO4LW  
　　sin(-α) = -sinα i/2RPi0 5Y  
]tde  y8  
　　cos(-α) = cosα 3*-"-uu  
6zd(LWT)@  
　　sin(π/2-α) = cosα ^8+*+R,s  
A>-1"QDwJ  
　　cos(π/2-α) = sinα Sf<jY |  
ig3!AX|5@  
　　sin(π/2+α) = cosα jaX{N.'H  
p47k5  
　　cos(π/2+α) = -sinα hZ-efn|r  
gDH8`@hPO  
　　sin(π-α) = sinα TV+eE`$o!8  
^|SiF  
　　cos(π-α) = -cosα `G ,PO|;  
i,1BMzA2D  
　　sin(π+α) = -sinα 3ua'$MVm  
*Wd!xVD1  
　　cos(π+α) = -cosα Zg' }  
tAIJG$  
　　tanA= sinA/cosA P KFU/b#<  
;A"s(2e  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα &4b5 3kG  
CR^??@Srr  
　　tan（π/2－α）＝cotα ],gT=_?3  
&kp,#x[  
　　tan（π－α）＝－tanα 3iP,(  
C5L7HM*9J  
　　tan（π＋α）＝tanα :Ziw -AD  
qpv$M9G  
万能公式 qSy ? /~@  
eOE"x&N<  
　　 @ 9a   
]NF|y^qJ  
其它公式 ?> c?~ +t  
INlr *2@  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 }:QF@n FV  
z\>Q:>+x$\  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 b=IA* XaN  
C*=y^=03[r  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 QV;`   
n.MppR^R  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 oZ]DV=   
'yw="#@  
　　对于任意非直角三角形,总有 Di$;\SW|n*  
Yh; m/4 $A  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ;5>(x l-0  
WaL(h i_j  
　　证: PlM~<P  
5z}x?8m%G[  
　　A+B=π-C 0%)g1U  
E< `Lq^d[  
　　tan(A+B)=tan(π-C) \_T2_%t  
_3I[5?e5Z  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) E@T+F ! B.  
3ec,w LX  
　　整理可得 +P&lW_,LZ  
M {>J}v  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC "N.#G.U3  
cT!ez  
　　得证 e=@^w-iJs  
Lo}J3w [  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 hxOp  
;jB |hHx  
其他非重点三角函数 *Z4,W*)|O  
&2;4),XgW  
　　csc(a) = 1/sin(a) '8/ B)  
?YZ=ZUl6}  
　　sec(a) = 1/cos(a) #]x0st@l  
qkL&uq5  
　　 n1&c  
p3\5!#*Y<  
双曲函数 qDqZj;m@Ij  
>cQJ*  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 -"* >?r  
`\SD3"Y{z  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 2UgmKoe  
wdn8~TVlD  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) /gN"hy(,r  
BNv9unv'nS  
　　公式一： #Z99i  
b Pg4t ~&  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： =cEd/*ZT [  
tVrqs5&e%  
　　sin（2kπ＋α）= sinα "E=:V-' B8  
S /#,?G.  
　　cos（2kπ＋α）= cosα [*0s7d%T  
G`WWt@d  
　　tan（kπ＋α）= tanα *enL,=  
(,k0Kqo  
　　cot（kπ＋α）= cotα aeD(Rg  
BpB1Lm9  
　　公式二： rm^O,d&VM  
E39J f1nAZ  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： OV{b#B8k  
WE1Qj5;gq  
　　sin（π＋α）= -sinα b7"kv O)Qo  
{@B({*G  
　　cos（π＋α）= -cosα  !!T]0'{Z  
@lI) =T  
　　tan（π＋α）= tanα Y}\i<u>k  
gsR8Lt!  
　　cot（π＋α）= cotα 1;s]!4-a_  
'H<|J ohk  
　　公式三： 4v MiRe  
kj+?<"tA<  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Yd6}MhgR,  
d 8nf }  
　　sin（-α）= -sinα i(;:^x&  
=9?d`\ZvX1  
　　cos（-α）= cosα WJJ!rvzr  
b]r\ro-4c5  
　　tan（-α）= -tanα 9_EoY8!  
J-_3kM":  
　　cot（-α）= -cotα \-SbTLz  
EA?Q]ckP  
　　公式四： )oyackR  
1]`~7Qc~  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ;06*Q 1  
j5AH?eocs}  
　　sin（π-α）= sinα E]h6xuUF=  
9u}EiEW\  
　　cos（π-α）= -cosα *xLJ-jlO_  
a:]tT =] 7  
　　tan（π-α）= -tanα r $yX>X  
i!Mc f=,)  
　　cot（π-α）= -cotα k# {WsI   
3!U@6nA  
　　公式五： !\|^/p^qK  
E^]tX<{  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： a|fEL$Knw  
9"4"bUq| |  
　　sin（2π-α）= -sinα (wo4OJs  
Mj 3D#wrKZ  
　　cos（2π-α）= cosα KjSp#-.YvH  
;$2)f, '  
　　tan（2π-α）= -tanα >%WfhhSAu  
f ~<qRo  
　　cot（2π-α）= -cotα ~>@o)1  
.#t94W2i  
　　公式六： WFU{c(bC>N  
0}"a V2Tt  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： AedF  
"(pya}x}r  
　　sin（π/2+α）= cosα )|'qRy^SF  
4*oa2L2 l  
　　cos（π/2+α）= -sinα K1Y>n'6R  
PWnoZ1?>6  
　　tan（π/2+α）= -cotα cPp7:   
u!S,N8w$t  
　　cot（π/2+α）= -tanα fa]$Nh7o  
,)ms/$lU  
　　sin（π/2-α）= cosα "!82XF:J  
t2z885G  
　　cos（π/2-α）= sinα w2 MO  
3()A901\n  
　　tan（π/2-α）= cotα lZdhs!{  
?#uF  
　　cot（π/2-α）= tanα h;d% l7|$  
EC.= 6V5  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 41vzYV%?B9  
H~gKT6. $  
　　cos（3π/2+α）= sinα T@Mi':5  
HF#4>ZZ  
　　tan（3π/2+α）= -cotα OPa'}(zTH  
q a_/  
　　cot（3π/2+α）= -tanα IQ{=L%VO~v  
`oxq[=i|  
　　sin（3π/2-α）= -cosα %^Ef E2  
v9R FY w}  
　　cos（3π/2-α）= -sinα K4!|:dbR*  
i4fYn 4~m  
　　tan（3π/2-α）= cotα L;q8I1;(  
<QV 2yQ<>  
　　cot（3π/2-α）= tanα s@9o7yWQ  
E(>t(z  
　　(以上k∈Z) YN>*[r/8m  
lDXY\8&  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 hW"]\[w  
If$U^7Z9u  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = muN_d3IGss  
_C7.&"MC  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ">W`8*9-  
o}d]8V@  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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