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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ;hQ.]Xx  
P;6#C Cq  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. `$R|]& 4y  
6&0e7 0)C<  
　　1、三角函数本质： Xcja[&)1Z  
MBTIs*~  
　　三角函数的本质来源于定义 (!lP._EKZ  
 k1^,  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 |:.zkzH[$  
bBd!N*  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 K-@ +i^Q  
1jV<]1*PJ  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 8V$V|:2  
>(;W+ VW!  
　　推导： E!* PVU  
!~@I:kY  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 {"@?@ W4  
H)+\(h0iS  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Z<Le+gc=]B  
YaSQXp @  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) M/T}f j  
h.w_V  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 aa(8+  
*FkCDIG6KR  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） \e\FOS(RQV  
4o0uRA}T  
　　[1] #R5Pl;Sv  
q2La"JZ+  
　　两角和公式 @\7a'G7U>  
zj$L1N "  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ^7 X*581  
V; I)d  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  </-2ETdtU  
#A^:~R  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 7 {T=>v{  
K{Ang W  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB W+LsF "  
6F `WkW\o$  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 6GuzyU6  
[5Yx/&s  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) #c)H @jm  
wY~z\U%@u2  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  >.,``  
_ Q /;r  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ?jt/ e  
Zy[H*?a   
倍角公式 ?_(~Ymk  
&u$ ,;q  
　　Sin2A=2SinA•CosA #: 17  
!_ 7)9Ol  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 B)|XB  
/kWMv[0  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） yfV$S/)   
a~ &S ] t  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） P^1FX)r#  
%cVcxaEY?  
三倍角公式 0k&@DB!  
W}wrU3oo8r  
　　 3m%#\;  
gt%p$_xtX{  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) tj#CDq  
38'YK m:  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) N4\>OQv`  
rwX@?vY] n  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) mi5HOn  
o)9Ms vO  
三倍角公式推导 f%z{E  
lZ?}mL/^>  
　　sin3a qqUeyiO!  
} eM}(z[  
　　=sin(2a+a) 9vJ#W'E.I  
:$YXVR _  
　　=sin2acosa+cos2asina sJ8R"7w  
a!:JtX$.  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina p3\4(;U  
c#i7ijt  
　　=3sina-4sin³a ]YFqP2F  
Nt1pxj{e  
　　cos3a @wbxO~Hl@  
`Jvmu#W  
　　=cos(2a+a) !k=;]~9LDV  
dx !U UU  
　　=cos2acosa-sin2asina N[I D(0)  
YkJT (/)  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa B^oUbUJ  
c2xZshN5  
　　=4cos³a-3cosa #yL6<K  
W_;q#~xlSZ  
　　sin3a=3sina-4sin³a Pg% B3  
JS.*#"   
　　=4sina(3/4-sin²a) &+@4Lyp  
4&>}5J7hr  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] wWJ< }  
f>:LS  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) '6!"<lr  
Is q0S'A i  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) *1j6y)>6N  
c+6**=ZA  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ;jdUgqlnO  
1o1j.q"  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) =3kv6c"  
g@aA Jv(  
　　cos3a=4cos³a-3cosa #.>@p  
2 bAU4sC5@  
　　=4cosa(cos²a-3/4) /aSV4P  
MZV*[J>7  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] QNqf'  
ek|~'@@-  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) p4@e'ULw  
T,&!e~U:Pk  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ]O|6.?, q  
dYd:Adu1  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} }o _ o]8  
w.~=x,5R  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) EvM#^sd  
:W& kSqL  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] *qCRVfM  
2}/&^]IU  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] BFLiz#<  
`>!c 80+  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) D4D4B,p<"  
GIb~gG\{j1  
　　上述两式相比可得 nLm3^{C^  
0V0@b;  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) z4nyA7gV  
h"k+8l9<  
半角公式 _v$j r   
<=;iMzxmA  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); J;sSd["  
6x` bsE  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. W^}w+ >  
6MJlj 2@cq  
和差化积 1a!2 2yXG  
$2P{Q/  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] }_ce#Ze0  
NmA TGrh  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] +=hj@M  
t06q\x3  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ?w8fz=28  
,t3S)-  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 5o9n.i7pi  
]b '  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) E%@JI3?wAh  
$@AsR"Vlo  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) &1=* |}?y  
v~ 16ev  
积化和差 {g`'sq  
St&Os,oe  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ]ByaaCg  
5qz| _EAD  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] K^6y)  
YRJe4  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ?nn-&{hU{  
?S#CSMYg  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] |Nexo>06  
s5Z~C^6j6  
诱导公式 R)qV(ubLg  
oe ;U#  
　　sin(-α) = -sinα UHGDlHkZ  
2h]5MrI f  
　　cos(-α) = cosα qA[qYvF1  
-oX 3cSUUi  
　　sin(π/2-α) = cosα ),`6d;NJ[  
/x .-l  
　　cos(π/2-α) = sinα U_ig<Z(>  
k jHq"6H.=  
　　sin(π/2+α) = cosα V! Pne  
EJjIy8  
　　cos(π/2+α) = -sinα ]xEe<_"a]  
44w]F|w  
　　sin(π-α) = sinα {_-UC-y  
##{3Dnp  
　　cos(π-α) = -cosα {QYDD8mi]  
T:U.+x{h %  
　　sin(π+α) = -sinα e&Ov[z%  
JB@_Yzp  
　　cos(π+α) = -cosα QS#{gn7XN  
r/q:IWzW  
　　tanA= sinA/cosA z~-0UP:  
9@V](UI  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα `z/N_D<>  
i:Uq (;  
　　tan（π/2－α）＝cotα WxA?v~u_  
T12PQ 7  
　　tan（π－α）＝－tanα Ck/I.a>"=  
>f6"(n\S  
　　tan（π＋α）＝tanα hto={  
Wq4K)$Q  
万能公式 = $ S<E s  
4|{@Em&;  
　　 's?=98a  
tTK|"b!Y  
其它公式 }<cl e8  
qE[mv/  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 p0jHItRoi  
P8 e.yy  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 \:kt\u6{  
JpOe|2i  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ^5zq_']5TX  
LReKmy,l  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 b66|Ib^  
q_>xa41  
　　对于任意非直角三角形,总有 ?3j1}Uxk\  
w0:o$frJ~  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 2S}Qw'}  
Qiel@a  
　　证: s(xscZ#Z  
Vnst a;  
　　A+B=π-C _4 r:fVJ=  
KU{i(nZQY  
　　tan(A+B)=tan(π-C) pU)9zhe  
1)a8vkPa  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ZK! _1~z  
*Q0v6R  
　　整理可得 *h2F"o  
ch]J",>NJ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ((0sMFj#  
mw3f~ cl?  
　　得证  , qM'-  
mH99}  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 U{zs2b  
^FS i4*  
其他非重点三角函数 $5"o" d=  
4!z|t yW  
　　csc(a) = 1/sin(a) (ILwe^  
m-&>U.  
　　sec(a) = 1/cos(a) M`BhRKXI~3  
);G d"TmM  
　　 Zjje#W  
)6z,^q  
双曲函数 d4>d9-"J  
p lp$t~h`  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 RL}8/+  
_!9z8d  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 La8-!  
A7| r`NoK  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) d8s:i  
_`F!H\dy)  
　　公式一： 0CMU\6j  
qOP* r#*V  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 7=d-mT]=ui  
+T\w  
　　sin（2kπ＋α）= sinα p<@U<*:bJ  
)T5:K (  
　　cos（2kπ＋α）= cosα }_7?le" uQ  
3'\QD/Jh_J  
　　tan（kπ＋α）= tanα "H~l{  
8@FC 3B  
　　cot（kπ＋α）= cotα X~x%&{<f  
g6CT-9  
　　公式二： r{,]1&ZWHm  
B@TCtOm3J  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： D`Y.XH!  
\P m) 0  
　　sin（π＋α）= -sinα aPS%vN  
rPe.u  
　　cos（π＋α）= -cosα YbyS(Kt{  
; rTD>^  
　　tan（π＋α）= tanα xK}kf%  
pVKk$,/x  
　　cot（π＋α）= cotα %& G$QkI|  
wrGBRgy6  
　　公式三： 01H $ m`  
FR-+  =  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： @ipq!>H,QH  
s?+0yv_  
　　sin（-α）= -sinα L.e8 &(P6  
["-Z+  
　　cos（-α）= cosα ~g5W6ln  
yp9)k$DVA{  
　　tan（-α）= -tanα ^<(QHxC  
+)<.#{d3,  
　　cot（-α）= -cotα <*t:i1+{|  
3MK3J6Z1  
　　公式四： 2" \b<J~T  
)siPjfK  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： w=+,%! 2  
vAS@h  
　　sin（π-α）= sinα S\" v L.  
\tr7ug6:>  
　　cos（π-α）= -cosα Q+uv$a  
JF&-HoOQ.'  
　　tan（π-α）= -tanα ?o;cpc(H=  
4o_l7_#"  
　　cot（π-α）= -cotα <-9;vz  
.BYAy!GA  
　　公式五： =o}D=&4>d+  
Oo;P&@ Cj'  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： pTgOc-"d  
?hb(pD  
　　sin（2π-α）= -sinα VpT`AZ*  
}`h#0B4)~  
　　cos（2π-α）= cosα ( "pcvI=T  
Qsg_>sO  
　　tan（2π-α）= -tanα OsSzF0  
n'w-[%;R\  
　　cot（2π-α）= -cotα 0-MN87G  
G/ vRq|2(  
　　公式六： sA~Q z#3V  
] AA`He  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： WCD,q4G  
~MhV* nP  
　　sin（π/2+α）= cosα 2q kBhPy0t  
OSd<0e<g<}  
　　cos（π/2+α）= -sinα ac$+BvM*)  
_h^_;^^  
　　tan（π/2+α）= -cotα j=`~i92C/<  
Qz?}NHT*^  
　　cot（π/2+α）= -tanα sxZ1|NN=1  
>}( p0qXA=  
　　sin（π/2-α）= cosα B_'NW'=K2  
> [ cb{d  
　　cos（π/2-α）= sinα #ZX,[s]t  
On?&'je  
　　tan（π/2-α）= cotα OZnIW{#e  
<i:hLw^ K  
　　cot（π/2-α）= tanα S< .$l  
>S]vh0o?  
　　sin（3π/2+α）= -cosα qhk<E]hU  
^<@!Yu+RD  
　　cos（3π/2+α）= sinα vD(f80U}44  
u1`9!~  
　　tan（3π/2+α）= -cotα @W_F|#|  
;Js[ZSX  
　　cot（3π/2+α）= -tanα *GY6YM.  
nKdZ!k\*  
　　sin（3π/2-α）= -cosα >.>-r';i  
p8U_ X5F#  
　　cos（3π/2-α）= -sinα D( #M?|`:  
7+<F#j\E  
　　tan（3π/2-α）= cotα &0!'XUFq@  
1\Zo #~E  
　　cot（3π/2-α）= tanα xToAz6|\  
n }lZCI+Y6  
　　(以上k∈Z) mYl7.~R c  
<=dy`[V  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 T_?PiP1$60  
8)it?[D:  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 2}po \AAU  
b.#W(=qC  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } zx,1D _F8  
[^ gwlC6C  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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