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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ;<u~l5T.*  
J"@K804'J  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ^u{Q"w,z  
M7DT@(2n  
　　1、三角函数本质： +3JwD6d(  
x~ %S7W*  
　　三角函数的本质来源于定义 (7g!B|R   
ZWfB9z 'c  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 (x,&i&_el  
:G)d2a  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 W9DUQ M}  
&?'8eyI  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 9Kd K_'  
]_[E+MY  
　　推导： yViD v_  
\_j]= CS  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 vRG %'# df  
~jJlzLX  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) (-W_zF*s  
13|[/+\  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 1-+4^`{(I  
=VG )5u^  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 J\,oM+' Y  
"vkFYmsJC  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ?3Y 'ji-h  
'b ?x 'w3  
　　[1] t{15(_  
z&D}G[1Q  
　　两角和公式 }]jo#_"  
i<(=  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 6ZB"v8a!T  
l!aB#xj*.  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  UC7M =2  
R.;E;PJ-  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ~s/Xcb{P  
YUtB&7jj  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Qtjdl~w  
J>s!_e`R@  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) AR[i({\U  
w}V{H  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ?S!N-%-_  
5O_qwY  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ^B43Ymt`0  
UR3o:x3s  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) oZEw]z`  
0_5  
倍角公式 W~';.=ltB  
mrnqdP8  
　　Sin2A=2SinA•CosA t* muFb#E  
X+a~khh$`  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 HEN:<("r3  
/rS;L0  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） C,&r+eM>K  
Qt%0-%;  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） \~C>Z  
eD;!1 ?  
三倍角公式 _|.@+)  
})Cmh`oN  
　　 jVI)_l3V6  
q5{G:3Et  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) }<L+3 XW  
})TOK_  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) hISl_z*  
2X|*DB,  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 9Dxy",J  
>+>]fV%  
三倍角公式推导 LLu8~Uxd  
:5|yp&u,  
　　sin3a h4%Z[YS.  
0;Q^KW'HB  
　　=sin(2a+a) ,$_NJe~d  
X0bJ_`QL  
　　=sin2acosa+cos2asina MU|ySS  
AG9E\  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina GIR^,  
.&S]X]J  
　　=3sina-4sin³a .h4l&  
C?uW  t]  
　　cos3a cCG_|-L{  
*e`r_$9M  
　　=cos(2a+a) (%QpG5  
eo){V`$q  
　　=cos2acosa-sin2asina Gr`3|:z;-  
8\<MT<3y-  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa C})SCiz:  
YKltbTaz$  
　　=4cos³a-3cosa Y2$%h8oV  
^@9s`m,N  
　　sin3a=3sina-4sin³a G5n'dkv/  
}(nb-Z7 YU  
　　=4sina(3/4-sin²a) QYy,b`K  
3uB!\@3  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] j }Qbk~  
\?y M_jy  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) uAZOKFW((  
G>Y+JaEJ:  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 23`GJl  
WXd@ + I  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] JXrKOp"za  
u/ Z  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 2}q!T"140  
BX>3  
　　cos3a=4cos³a-3cosa MFq *'8  
fs8CvBf  
　　=4cosa(cos²a-3/4) V\m 3]%   
=)iTr}J;F  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ItH)7j#  
H'q1$7$9  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) c\7q6 >96  
MvYj0u/!JL  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 0v,=)S<(  
8 F+cNb  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} {HIrIZM 8  
ue iUZ_/R  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) B(L7a  
y 8\7|'  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ,2gC~ "a4  
L)"9Af  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] T*?kXJp"]  
Rd49{u  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) _=F:uhF  
Zp&%  
　　上述两式相比可得 Rnzm<6"#I  
UC5.h*}ZY~  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) \6<4iZPy)  
qDPOJq>do  
半角公式 *gp^`{))  
@SLm\efP  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); *nb0#CRG  
Rvr8,Uy2%  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ]AO*(J.ipo  
>QW`dG^  
和差化积 N%DHd![>{  
hE$}|;T  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] G -+p5W  
~e*uzEygn  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] LZ Fp)9kW  
 [tk:7  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] }:u4s8y  
;LhUVB"K  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] @i'W 2  
O?d]qO"v  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 0=B&m.NSR  
y qARf  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) d0 Q=J'[  
d&=saaXX  
积化和差 _5uYTao0  
f|NL_7  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ~#p$ Z  
gNX2 FBS  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] "GJ82  
T*|fv<D2sK  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] &Un127T O  
_) Ub  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] },T^,WdMYl  
4oB:\R@|`  
诱导公式 R!502dt  
sG >!s@`v  
　　sin(-α) = -sinα ; HJE+w  
Qd_#D;  
　　cos(-α) = cosα V|SUdUG^  
!.^kHh3(  
　　sin(π/2-α) = cosα IwiX4J  
].pF+1  
　　cos(π/2-α) = sinα gB9Imf  
~N{zs3J=  
　　sin(π/2+α) = cosα cfmvAWv  
$cWo'B  
　　cos(π/2+α) = -sinα ]G"Ns  
Yd]a?H$@4S  
　　sin(π-α) = sinα x9}p=:rk  
@9uc8TX b  
　　cos(π-α) = -cosα mPkh1PRr|  
 ;E{:O[w  
　　sin(π+α) = -sinα R1bJ53 z  
~<t`GC 9  
　　cos(π+α) = -cosα fQADx8[N]  
H?0gT4D o  
　　tanA= sinA/cosA ;-SFC66  
[T`Xl-W  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ;%oTq|.J3  
8 QFN:n~:8  
　　tan（π/2－α）＝cotα ;g|[]'  
;n{}zRw  
　　tan（π－α）＝－tanα qvh[w;C  
gQQ> (  
　　tan（π＋α）＝tanα <v720tsN)  
Ebo Ct6j  
万能公式 %Qzof<2  
6T$qQF:  
　　 B-3&i*8U  
U]}j! (B3  
其它公式 3 ~@5ATM)  
A_AIu%1YQ  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 CX(A N#8  
R)LJ^ W  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 9\+/Nf30  
\krT #Y,;  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ?0< vVN  
8w[Qs-  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 {XUj0Ku  
$jbD   
　　对于任意非直角三角形,总有 WDX/  
Xul_pc  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 1;kG]?jZ  
npusl@L  
　　证: ~xI`& x\H  
?N_z0 2  
　　A+B=π-C ;(N,jhA(9  
FpgP,#  
　　tan(A+B)=tan(π-C) @\KE3?sN\y  
bo P)O\DlJ  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) SCEQ#+ 9  
_R `_do!  
　　整理可得 NSn/Q s  
tM%= V  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC |1[nUC%[  
v`v<3TI09^  
　　得证 ~q8r7CTk  
=vKy4+  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 `^+MG C8?7  
6L =it2z  
其他非重点三角函数 J[bV sx|T  
/ :p<A)  
　　csc(a) = 1/sin(a) lcHd6"Ku  
Asl$~$|')  
　　sec(a) = 1/cos(a) / cPiYc  
N>#  @ 6  
　　 _> rjo;gQq  
auwJr*.{~  
双曲函数 .e:;DQQk<  
JB'Dc8 tk  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ]G?PoYI&  
1sW9*,1_4  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ,Xri5r7\|  
"m D)Ov  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) nQgqAy\;  
Z 9wp\svUw  
　　公式一： 9Hqu^  
4+dF)9<  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： {[mwTv&1  
kLUQvpU  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Apqo ),B  
L\2GQg%  
　　cos（2kπ＋α）= cosα s}3oU"M[X  
` X>b{ :  
　　tan（kπ＋α）= tanα o?t%Paa{M  
pvm&F4mB  
　　cot（kπ＋α）= cotα H44A$mauL  
.842 #7iJ  
　　公式二： vR\=`fx@A  
mNf9eW?T  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 9~8KGhT  
*CWgma"  
　　sin（π＋α）= -sinα QlA|!:]G&w  
=N<U>($md  
　　cos（π＋α）= -cosα S_I=( 2/  
*(]U!y\=  
　　tan（π＋α）= tanα ~HFZ" :  
Fz vDa  
　　cot（π＋α）= cotα AmY.FV)U  
{ 7lIkAV l  
　　公式三： D VP[}bX  
0ZKPBcz6:  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： /dfF,Gsd[W  
u S@huX=k  
　　sin（-α）= -sinα 0HiwF  
:l'%s4|ay  
　　cos（-α）= cosα h)i_#o:  
(-p,y1b`  
　　tan（-α）= -tanα >O!ti;t  
K#5Bi( j&  
　　cot（-α）= -cotα &>(qX\H S  
{#f9 0Tb'  
　　公式四： Mu myv96  
JF2 b}  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 1r3(U{9R$  
ptk|g"FT  
　　sin（π-α）= sinα `>Q.y:;)q  
`mt<}Ln:  
　　cos（π-α）= -cosα (e0kL7Ef@  
fK2LeCcH  
　　tan（π-α）= -tanα &n1o!52x  
F~v$F<Fx  
　　cot（π-α）= -cotα +~nx5idA  
DUNY| 8g  
　　公式五： 4uc:+.e O  
YU 9'  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ;Js-eNn~  
w365Gvy  
　　sin（2π-α）= -sinα nWf6@DQ  
6A+*3y*Iur  
　　cos（2π-α）= cosα iz/K-VGA(L  
SrhJX;X%!4  
　　tan（2π-α）= -tanα M_reYq)|q  
ew}>C3<L  
　　cot（2π-α）= -cotα Eex@./s  
0L&iiN ]  
　　公式六： JR05doCg'  
|C*0Qk>%  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ef%&KP  
Zqn 8x4#K  
　　sin（π/2+α）= cosα oiS,LK<&  
92h j_  
　　cos（π/2+α）= -sinα k%o7G _ "J  
g zTCt  
　　tan（π/2+α）= -cotα }\!V%6]3  
1\]F' l  
　　cot（π/2+α）= -tanα oISLl=&F  
p =dn('w#  
　　sin（π/2-α）= cosα ,ZQ:K7^`G  
/d~9`$hV  
　　cos（π/2-α）= sinα -:LQ{zD  
UgI %4CL*  
　　tan（π/2-α）= cotα w5q.;f  
C2IQ!&|  
　　cot（π/2-α）= tanα :t^#`T  
X3puF@Xi  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 04&\D0hd`  
ZLd%[H  
　　cos（3π/2+α）= sinα +34f1~t  
X \$SCF  
　　tan（3π/2+α）= -cotα [kq !nG  
kVGg(yN37B  
　　cot（3π/2+α）= -tanα u+=ODhC(  
] Jh?D 1.9  
　　sin（3π/2-α）= -cosα g}s"4j4%@  
pyXnO(:b*  
　　cos（3π/2-α）= -sinα l5g;82=A}i  
)cU92g(^  
　　tan（3π/2-α）= cotα b7<`9e`L  
9B,C4f:f  
　　cot（3π/2-α）= tanα Nm%^L&w1  
Dg-eBvh  
　　(以上k∈Z) D R7W66  
wsylmdJ  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 >OS %&+5=]  
h2HZ-L  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = * z>8f  
Xoxkah  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } "jlZoe^V  
Ub6o6j-  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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