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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ? ]G/7pq/  
"jop^KJ.  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. "L-)nIt^  
Tr'ost  
　　1、三角函数本质： ;VX:dyzY'A  
6A:^0SV  
　　三角函数的本质来源于定义 ?7q_r{W y  
=k3fMlRz'e  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 imj9!s*I  
TGiilXVM  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 5?r+;yR  
\p, uB`  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： R2Cw[>  
u:v  
　　推导： =5T6RDD3  
ld'[>S%L  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 QHiHqA$"8  
gc9fG  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 2:YqVBjtl  
BBF .Q%M  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) dSyZN ?\  
'y,kW:`O  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 L,o n A (1  
8 7^m#aA\(  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） !"ZG0\z  
x7 Mo*"O1  
　　[1] P@$-n\/w  
q,/i`iK  
　　两角和公式 N\gb(Ld  
6 a]SGQl  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB $1*v'i]o  
dn.Lhou<,  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  pu1YZ>  
oj]MB{`  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 3wk <dq  
u TCh  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB @6qKh<  
<NY_#v  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) J+bNX3  
"o AG%^^c  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) B>CF%)f  
y<;fpY  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ==y!1   
!/1td/F?C  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) |u^[anO!  
^uT-}5]OA  
倍角公式 OJBjvu  
b\Y^@*q  
　　Sin2A=2SinA•CosA 7QMK[ ;  
%ER)Heb8tv  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 (|I}} 2q  
~JKxCkg'O  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 9pShq.Sp  
4qApR86<H  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） S^~ES0fy>  
9fmr sE  
三倍角公式 {KzO  
6"V lLfy5_  
　　 w>-R0j  
fz3a$,E  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) X!t 1nb8  
2HsMoP  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) y8<kB ]5e  
yWVVh+  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) +tP_~#opPa  
u+Kki@:vT  
三倍角公式推导 78,s9'4p  
mV#VFs&  
　　sin3a 7 k_Q{e  
;Z[i]5  
　　=sin(2a+a) ^g7DR2L=(  
HJ7nMN   
　　=sin2acosa+cos2asina S F9w=~Vb  
vvaa{  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 0q4!+,c  
4Ti?I>WZ  
　　=3sina-4sin³a |y24JQVt  
Rj<#'.bm  
　　cos3a F*%wko  
{A?J]"aG  
　　=cos(2a+a) 6&] 45>  
|cduQk q  
　　=cos2acosa-sin2asina `J=JM:La;  
1Vc('C^8  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa #aL <aa  
$=4W=t96l  
　　=4cos³a-3cosa 3ffvsm  
8UPmg"[U+  
　　sin3a=3sina-4sin³a n/SiV?~  
z<)-m$X  
　　=4sina(3/4-sin²a) ot<:J  
J`&VX-  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ugM43rYA  
[ L-oLJX  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ,P9KNo  
%h>>g0/  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 5#{7L4p!  
i^H7+~m  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] M+FNl&MSRh  
`VAimvD  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) [z/E6l0lS  
 FUvf&7  
　　cos3a=4cos³a-3cosa `e+Em5g"6  
z&AHKYlw  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 8NI\alZd  
iP<YP:b  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] op a2aY'  
Bgq++  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) d.=|)9EYjF  
&"5T|@;  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) oM_GYB<e(  
!a-;E;  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} SFLAw:  
}@sr5-g| U  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) lx&l` D7  
R(L ;bC=  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] i94p_ O  
6SwnF"T  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] > +0 Vh2  
5?v2{@eF  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) IWeF  
v'Vo:C`m=  
　　上述两式相比可得 X 8l=(RY  
`dArWJp  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) |c>[Au  
.PbDI`&\;  
半角公式 HOH%aj  
NS o=mj!AI  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); (4h+*&C_3  
!NBCkp7m  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. FmP5 {|]}.  
T=m6gW,Sc  
和差化积 1\w3\Of  
-4X\&q  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] /FrZmF6  
X!; U]B  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] SU,n12}  
EdLu(Y~97q  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] P_D|^h"L  
A L^ vA  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^W~RP"<`  
\Je7si:  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) W-UDwApO  
WNR8wX ]  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) mee@Lr  
*nv4t!M8  
积化和差 @qjBX8&lQ  
1~4 /]q^5  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] si AOnb(  
C3g|!V,ZQ  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] y7O*o*  
^4f$ut1{  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] >wx6+^AtK  
Quq&GGX"q  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] jP9t0. (e*  
5~B&_l ?[  
诱导公式 ]tR6A`<bB  
Byzt K#Xd  
　　sin(-α) = -sinα +O?%&^'B}  
.lw$Cw[/  
　　cos(-α) = cosα :`~^( B6  
UK=I4l^o  
　　sin(π/2-α) = cosα uPiA"p  
&+WFNuR9Q  
　　cos(π/2-α) = sinα dy&/ ?Mo\b  
n0#Lq qvc  
　　sin(π/2+α) = cosα M5-R50ly  
:P+X{krg  
　　cos(π/2+α) = -sinα Of`N+  
mDXY4_ Q  
　　sin(π-α) = sinα y4]`|qy{]  
rB*UYmd *  
　　cos(π-α) = -cosα >-IfCg  
0+[N`[<\  
　　sin(π+α) = -sinα f U&"hfEg  
 *NpWss ?  
　　cos(π+α) = -cosα F\uHX!t>Bh  
5$DK<T8  
　　tanA= sinA/cosA UFAHK#>  
d $Q4X~#j  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα _O|qVnw!  
pa#@MeuCg  
　　tan（π/2－α）＝cotα 2{K04Ypn  
j ) R<>Y  
　　tan（π－α）＝－tanα vH[B]-nX-  
<!RYQo'  
　　tan（π＋α）＝tanα l8&^IcM  
AF h1zAo=E  
万能公式 ?uM{_>xX  
-O,vgNB:  
　　 {,$UiM.@  
3 r//#P  
其它公式 " }GFKxO  
gH^qqyO" x  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 /_k/^GicK  
Sv_FU H\x  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ilQnQCv4k  
|8/s \^!9P  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 j-e.zKK  
1s,PJiO  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 fR,mVWezb0  
Qs. .d _Q  
　　对于任意非直角三角形,总有 _FA8b_j  
E@k/w3K+V  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC m%Q*/X8  
"cPN, al  
　　证: hBv8~@D-  
ia%6 ; &NH  
　　A+B=π-C (8%SYT`d.  
fvzeQ Mg  
　　tan(A+B)=tan(π-C) NxPI!v  
y,K^;JT&  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 9Y@DA@cv;%  
*'b 7}l  
　　整理可得 JCE*Y+6Ed  
(|09H  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC z*S=o7hW'  
-Q[$&[w   
　　得证 ?|u!ai}v  
fTq_2+  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 l$]l6 ?  
3IZI9 7K  
其他非重点三角函数 1L^(Hh\i!D  
PSH1/@  
　　csc(a) = 1/sin(a) FX9ONYL  
n2G xnr  
　　sec(a) = 1/cos(a) ( H Pm(  
*ugQKFV  
　　 u-<834`0  
y Hs/= ?  
双曲函数 _7?~BwRs  
C*G*Cvd=  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 eSdu_~k~  
q{'~)+@kq  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 .:JN 3&GK$  
]:ag?f2  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) <|!L,hD*  
lz2^es^!  
　　公式一： 3wPOr,dT  
_)<\]  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： o _lzn$Q  
}'px*Q"UM  
　　sin（2kπ＋α）= sinα =&+aN\j(f  
MZFxhad  
　　cos（2kπ＋α）= cosα +1tKuyF  
~~IBr>{  
　　tan（kπ＋α）= tanα ;t)"_pudM  
eW;bcm(c  
　　cot（kπ＋α）= cotα Qi>i+>'W0  
kxIL]g  
　　公式二： KvMhgm=u  
VMY k~Z\  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： y7 I%=0x  
I"O&"U+  
　　sin（π＋α）= -sinα ja&C3V4B_  
yTG*06qV  
　　cos（π＋α）= -cosα l.._5fy\  
|M<24 4  
　　tan（π＋α）= tanα XWfi#{~4  
y-'1)  
　　cot（π＋α）= cotα ") gZY;),  
o"!6h(in }  
　　公式三： bg qeF  
87\Xu'YYQ  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： x7XsJhQ  
q\~D>0cL  
　　sin（-α）= -sinα Si~aG3s  
s6dC: wK  
　　cos（-α）= cosα CsMvg;  
:.O4$c^  
　　tan（-α）= -tanα *{7HoY7I  
bs<(5|}C  
　　cot（-α）= -cotα `"cejdOzC  
[I&uZNMkt  
　　公式四： tU]LC  
kTg" O0Rw  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： -{ ra+ql1  
Ypj}F%@=  
　　sin（π-α）= sinα .~y& 9p$|  
;Kg>q.  
　　cos（π-α）= -cosα Rv|YsJ  
/(3)6j.;F  
　　tan（π-α）= -tanα 5}fd3{7FR  
@{W6v w\  
　　cot（π-α）= -cotα !E k-G!M$  
=ss<*>#  
　　公式五： [ N$O%Z  
J sF\# q.  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： s[ y  
-i}x" l  
　　sin（2π-α）= -sinα !SInmMC3K  
3&h6f  
　　cos（2π-α）= cosα $kFxEf(v  
P<U n7  
　　tan（2π-α）= -tanα >Fx.1vx  
-R,| hOa  
　　cot（2π-α）= -cotα :3UQSe'-P  
nTz=Bc  
　　公式六： @:Vb=m>%i  
FMSPg=nh  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： J@Px9&@  
kgxgTlZ33  
　　sin（π/2+α）= cosα @ `wP5S  
yo ,(R  
　　cos（π/2+α）= -sinα 'tDSk  
p xh4e!~  
　　tan（π/2+α）= -cotα eTGlv/PW  
o_}0{3:u  
　　cot（π/2+α）= -tanα JO'"9-aP  
/)GK2d  
　　sin（π/2-α）= cosα &h{nS  
4_3dE[o0  
　　cos（π/2-α）= sinα 47B_7DA  
C$(o*pW,#  
　　tan（π/2-α）= cotα { =P 39  
ibIzTlb@d[  
　　cot（π/2-α）= tanα {i->ha)3  
XeC'>.&x  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 8(MPC;:JW]  
8wq@ ?#\  
　　cos（3π/2+α）= sinα &)GC-RJ:  
ZC3T&I`2I  
　　tan（3π/2+α）= -cotα k9F8nu82*  
8$)L4xS:;  
　　cot（3π/2+α）= -tanα fzD!d\w  
)>*:yp  
　　sin（3π/2-α）= -cosα `+R- j}  
4EF/>1mA  
　　cos（3π/2-α）= -sinα I7K](Wd)i  
L]1 n$Q  
　　tan（3π/2-α）= cotα Ap-~' Ht  
S3+EJ  
　　cot（3π/2-α）= tanα qF?szs#lY  
_FYY5<^Wy  
　　(以上k∈Z) $'Af:ii  
]! E'Pw8"  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ?%D*Bxfv  
~ [3quC`  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = $gj& aW[  
p|[r%8 )  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } &9@{\VPv`  
#{*JVgos  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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