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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 IwpODa*[  
aU%OOc  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. [Q4Lkmm  
uBE)fDZ\ _  
　　1、三角函数本质： }+}oX.)JA  
D6n\fxNB  
　　三角函数的本质来源于定义 Gsh;r}rl  
DWubxe5RNR  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 AmZU@Nu,  
jc^ @YEg_  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 VQ5C~Uw0  
J zo}6TXm  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 1v g&{q  
TP8p+  
　　推导： _$v(tg1J  
XTA-U%;  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 a'7hO+_k  
^wQ0s^tp  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) [[u{cS|Qmr  
H;L2'Luu$B  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) %heGT -  
8;aC\ 2I  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 -}jfV-^  
?*PC 4p  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） n{u$@FYpo  
/UQPwm  
　　[1] 3)i. ky>  
n&g=wNs{S  
　　两角和公式 ,t\\}o]c"u  
f8 hq3  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB jxSvPi 6  
[^"H8bK O  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  EPYDu6e}  
y")\.a  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB `:Bdn|#  
9`b8@9p@  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ws%0&xe  
gC.On:+Wsz  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ]C1P>saJ  
MdA&mf`  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) tKgG@/W`  
ivxru)wN  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  zsuXj i/  
7;Ld>7u1_  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) {b!X'[B;  
R -^WHa  
倍角公式 {" tL (MV}  
Ak})Wm"d  
　　Sin2A=2SinA•CosA Z&2Juv`Y43  
T)A+u}  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 WhsV[y  
siE` ]#  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） xE[yho  
Nv"!dE,N"  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） &A1""M  
*;[r>l>r  
三倍角公式 {&w<c,ae  
Fa ^ZP  
　　 g9?i)i4  
}T<+k=p3f  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) !4#3 9c  
3Cb4=;%#$  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 5GoDX~elrJ  
+ Wo@M  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) GUf{/cQH\  
}vj'S\U2+  
三倍角公式推导 N6I]gT  
i=_0*}?  
　　sin3a zmu4{u0B  
=<PNWe3M  
　　=sin(2a+a) C]wL4M  
M-)6\0N.4L  
　　=sin2acosa+cos2asina L?bGxLDf  
Pb,};K  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina E;T46,gWl  
T~*</R"gy  
　　=3sina-4sin³a W-j]> O  
oC(eU_vn]  
　　cos3a GAC O=c`  
]C)T-  
　　=cos(2a+a) v>}n@Jd  
%QsJ4i{E  
　　=cos2acosa-sin2asina :5AYM}*'L  
/5h49V_6  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa :[otqWk[j  
cC]"xS  
　　=4cos³a-3cosa fsF.g9\!  
I  J&Jw,  
　　sin3a=3sina-4sin³a "S<Wn  
~ /]M; 8  
　　=4sina(3/4-sin²a) } rcd  
32n+7+o$  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] RpjMtr@  
qtIAAD$X$  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Z [Izer  
h/!,Uz~7  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Z]}h7byb  
{DT^l/v  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] jpvaxyuV  
YtGF @Y4<  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) SJAfN7qa  
Y WQl<o[  
　　cos3a=4cos³a-3cosa _kGAP2Z?  
{/(+HQa  
　　=4cosa(cos²a-3/4) QOi+BgF  
9oj%MwP  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] cF3qhd  
L8e/<3m(  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Yk!~V2v  
S|L.Z{I  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) T0f&`IW  
zspt?]9  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} D&^ GhG  
a&K<HK261  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) i\kRZi  
Xuf*F).W+E  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] nuDOods{k  
!x&w=:#O  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Z{w vg  
qF99AY?I=  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) I@N-&RQV*  
/-PymG3  
　　上述两式相比可得 qG"~Xhq[p  
ihNUYn$9  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ,aH_h2 Cr@  
bB2j<;nYo  
半角公式 yI0cK'  
0MX!pl  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); S'wNd   
1N eTZZ  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. p %UfhI  
oZ%kS| /S  
和差化积 W =AbDr  
zL M   
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] |xa}1E@  
/\sxAey  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] -{ ep4  
dSh J  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] qd9Aww  
L*X #aep  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 5y8nDE8`  
_t <5jbb  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) &IMAf  {  
B94,+q  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) z(quHi|  
2<z%/)M  
积化和差 ~='| -K  
<R1'//z  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] IVNVwAQ7  
9dxRJB%B9  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] U<Cj{%9ek  
h9]f=f.D  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] IUG]mq i#  
b_dS-$bbCr  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ?8)G)|  
T,V 7YVZ~  
诱导公式 z3Jl tl  
Cp<>?0#C  
　　sin(-α) = -sinα w_;"  
!7tYS`Y  
　　cos(-α) = cosα ;",& 1@  
JY-w]xB`  
　　sin(π/2-α) = cosα TQ+2[  
<jz, Q6y#  
　　cos(π/2-α) = sinα kuZ] !1YE  
-x;MhnU3  
　　sin(π/2+α) = cosα XZF3  
fqKi%u}  
　　cos(π/2+α) = -sinα _zf4Uy;.Z  
s}AiyzSsA3  
　　sin(π-α) = sinα _niQ^d  
 } n`k,  
　　cos(π-α) = -cosα _h?<ZJTl=  
fZ|s  
　　sin(π+α) = -sinα jER{fw P  
 F6nv  
　　cos(π+α) = -cosα k}_jq QE  
3s1ooRD  
　　tanA= sinA/cosA l~lf/.RQk  
 hG6>  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα UCBH@Y >  
\\#[iSsWCf  
　　tan（π/2－α）＝cotα jL-:,/mR  
Yy~j)P>  
　　tan（π－α）＝－tanα #wD.;p~WY'  
'sa=*C&-y  
　　tan（π＋α）＝tanα QD;wHuJ  
ZP#YXTR!v  
万能公式 38Nyy(  
 @g/d  
　　 v$Zd1g=:RY  
HM%'j3<oW&  
其它公式 B#W)LAk0>  
da+P  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Wj`"|lW]  
McGR]sZ'9  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 jk DH){  
TO*C{Z  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ax+{]Jq  
eOeQd?po  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 T"&M_E`  
0hqRdfl9  
　　对于任意非直角三角形,总有 zriQJx9j}  
GPSn46)[o"  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC @tv-*- eNT  
<W|[01)  
　　证: C1&EA_,  
q+2Sp\|I  
　　A+B=π-C -inyRB  
4g&x;t8 p  
　　tan(A+B)=tan(π-C) `_kL$;sC%  
"fO'gMo#z  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 2{1p/g3m  
?mZY kL  
　　整理可得 7Bjd2?mb  
Z/.a979h  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ck%MnO'k  
u49 ,"  
　　得证 fm1R['JHc  
O_4^K=?JJ  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ykZoJ d  
\7 q;T]R  
其他非重点三角函数 jVc@j  
d6s0S;fRL  
　　csc(a) = 1/sin(a) jghpc-Q>a  
EvK%)s>W2  
　　sec(a) = 1/cos(a) 9y?>I}ZAr  
tb8{I.Lar  
　　 0NEx7#FV  
GN'a)CtN  
双曲函数 5EZ"{d>q  
F;Zkas6  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 I5Nd:_  
JP]|_ #  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 5w15sJUg  
#7<~%61}  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) A wgVHA)  
{'PXU  
　　公式一： _36A-*f   
gRt.!yV-I  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： #,e6 LJ  
~m2y?</   
　　sin（2kπ＋α）= sinα Z4]lXZI  
7%wyB  
　　cos（2kπ＋α）= cosα =!cY?RT  
[v]g D;x  
　　tan（kπ＋α）= tanα `KZ!L BTB  
B_6S4~  
　　cot（kπ＋α）= cotα Jz~D^o   
qJsk0{ h  
　　公式二： fU7 {O} w  
x r}pL  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： s3@}cN2  
&ftNs2;  
　　sin（π＋α）= -sinα eng>T9  
H?JezY5*  
　　cos（π＋α）= -cosα 0j7udc<'$  
wnlM0$  
　　tan（π＋α）= tanα (^1#c8_/  
cI{5n d  
　　cot（π＋α）= cotα 11pPQ:6O  
z6y:d^8@  
　　公式三： 3]zJ%[^t$  
{fUriNDb  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Mwc>3lT  
vNn!_EO  
　　sin（-α）= -sinα E/0 8>  
t9d)[ A-  
　　cos（-α）= cosα ]]K^O ?  
B'$N>:Ep  
　　tan（-α）= -tanα |}uRJ?':  
o?269D`  
　　cot（-α）= -cotα y1PsrP;b  
{o 0H<a  
　　公式四： _g9KSgrh  
_ MX/W*1~H  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： C ED5C  
n([HZu~  
　　sin（π-α）= sinα  ];G[m  
&{ Zm.v({X  
　　cos（π-α）= -cosα t% \RI  
mRz]P.!  
　　tan（π-α）= -tanα 8Bu&wV  
t@B 8rvx  
　　cot（π-α）= -cotα !(Rh\>r-  
2bFjO|  
　　公式五： ;+@3o4m  
8CkZA0r!  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： }j!N>7R  
LOO"N4H.f  
　　sin（2π-α）= -sinα "eJ%u~dw  
>#\g~^*W  
　　cos（2π-α）= cosα 1:F{ng[l  
g:,AU\z$  
　　tan（2π-α）= -tanα jlV,  
)`z!X;'q]  
　　cot（2π-α）= -cotα J)f4:G?kv@  
M}LY  /  
　　公式六： SuR\"55  
F&BVJoX  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： j8 IvDy+Q  
# x!LlO{6  
　　sin（π/2+α）= cosα \cR WP@qt  
nU/M~E(N  
　　cos（π/2+α）= -sinα z&.bqxlh  
f+`}umQi  
　　tan（π/2+α）= -cotα q{ gIc  
S7Y5RId$  
　　cot（π/2+α）= -tanα yeL#5!k@A  
m/W c W'  
　　sin（π/2-α）= cosα *AuT|5#  
X1ea%,~  
　　cos（π/2-α）= sinα &d @bK  
tuVN$.0  
　　tan（π/2-α）= cotα ~X ,wPHha  
90vUJReZ  
　　cot（π/2-α）= tanα Ks3y1QUo  
X2-)?\oyz1  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ( DV `y&m  
d@4)+7_*jB  
　　cos（3π/2+α）= sinα rdt8.)  
dl~Q&MTl8  
　　tan（3π/2+α）= -cotα !&;y+i[6  
u[dV^J[  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ++D!cV  
wTc3[xoka  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Lb_k_6ju  
]n{FEQ;  
　　cos（3π/2-α）= -sinα &*[n 3\o  
ffxl.Ki?rw  
　　tan（3π/2-α）= cotα ^ 5# qN  
BN(Z'oL  
　　cot（3π/2-α）= tanα kMa/W.J=w  
)'43hu4C  
　　(以上k∈Z) *_9 TM~x@  
UlV>r+$  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 yXL.|5y  
@B3w$H1  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = [#x+\HkC  
b6"  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ;3L[>e8M  
:|RvIT`S  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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