三角函数内容规律 B
g>%
'`z<6 Ob
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 9it9#J)_<
b(pKo$]
1、三角函数本质: &._`O
Nk"}j}mtOx
三角函数的本质来源于定义 gj'= [9>
v=w-mwi`=
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Xi3(;x
K/8LTL&-6
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 8}KeHe)4g
W_+0Rs
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 2e}RK<N
6,xXW \N3
推导: {s%U!<c/
.sU2g,u
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 6{s u O
1(dcT:1ox
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) )/N=/<
+2 [0EVH
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) "6;~%>H
m<\pOvh95
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 [eptplBrS
b`[w
\l[~
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) dA \o)6
A2SyP<
[1] 5Fy(8FF
2I@E
两角和公式 X\f?|m
|?*0y@Z=g|
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ^<l^H)[M[
fb,7Ei P
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB <ji,6{)ZxZ
Ed9B}YP
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB @>cu{*F_
b4i} X$#)
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ws7n81`jY
xC?+\Gwk
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) "lfQ`?43
44rTqZ:hp
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) qMgdY56B
eJKn5_x6h%
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) DP
4&HL[]
%m~O9P
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 0B/=Gh.,N
[o5MZ\L
倍角公式 I2tWL/. -
{#pfm)
Sin2A=2SinA•CosA }Kje-
!2o^eg#(\a
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 w% DuJI:@<
:p>"zRRY$
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) A%2xcsP
R"_J!BjM<
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) z2&vC_qX
g
J0CrV|kn
三倍角公式
7p>09CDUA
gscNn-8
mmvCPx.
CX~$:4
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Pj.>"5
F'{)-S
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) \\0w)'^R6
R9uth#jSu
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) t=NEvVW
tKxYK2eE
三倍角公式推导 TN0JW@4{H;
&~5tmaN4{s
sin3a 9l:+c!DgB
4u\
uYe.
=sin(2a+a) <s_
Dz^T.
=sin2acosa+cos2asina <v.upTh
\Uok+oY7w
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina h!
K}[Ko
)SfPJtnM
=3sina-4sin³a ` W_a>z
uP%/j*
cos3a pu=K=:v
\Cf(*R
=cos(2a+a) 0&6X=A@>Z
lUs &+I
=cos2acosa-sin2asina Dt}->jPl|
h
ixxi:
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa :VGN>rv
R (s_F8v
=4cos³a-3cosa #Ow<No)&
{qSte] d
sin3a=3sina-4sin³a EE/hce9
#d&X@3V\
=4sina(3/4-sin²a) )S !}
I
H.Q
-
=4sina[(√3/2)²-sin²a] m'1Kk#hj
_<RA.'w
=4sina(sin²60°-sin²a) yas[P6Y.
j"Saf#bC
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) #t
.~&W
USCjY,]&Q
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] nJ.VW@<
~'l.L >9)
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) A.7h8'$~q
u|@B F.V
cos3a=4cos³a-3cosa F[nKv_-Gs
y7G0@I
=4cosa(cos²a-3/4) j5I6f*u
{nNJN=;[
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] *%wp5Up3
0H>_6p>
=4cosa(cos²a-cos²30°) 2q |i#Q
{ye k8( Y
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) <33?*/P
2jd!(1m
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} h<lr;[nM
)@&,Zv
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) y#.n5!|
xO&`ZC\
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] *]iH_WBU+m
OY@ +{
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] "<@,"34@`t
.,{"kf"!sC
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) mn, ^(Z}V
K}{oAe7X
上述两式相比可得 )<2Y X.
L8O`y7l
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) a(0B- X
%-336twm
半角公式 -Ue
A
v2x XTP6
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ;{m6{>X_w
iK# x&kS
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. *W;()08qI
XjB#O}x
和差化积 C#Owf^hJ(;
o"lF>V~o2f
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] m F,<f`dO
";s=?e/m
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
ICVR)ZG
)x1]4t@v_
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1Zs-I4=XN
=dxw"*p)
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] A:@[^MR,7
7}TFN,/v
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) C.j2s
jOg9J~
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ,)()5(A
GJikss`,A
积化和差 LjD? #
b! [*O-1k
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Lzqo?#-
" CwZGwL(
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] =6PfJBT4
GEG mL'tA
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] a0gP7<v>
L^qV\(
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 'i$5}dXFN
:+yRQ`?q
诱导公式 u:juR_M}j
DC_hcAl
sin(-α) = -sinα 'p\_Vy^84}
%M#)BlLB
cos(-α) = cosα TRcQE
ws8MD4
sin(π/2-α) = cosα WdYcJTg
<Qz A`z
cos(π/2-α) = sinα ciO V#
)3vQ;^
sin(π/2+α) = cosα >bznui$Fj
qe^}"|[0h
cos(π/2+α) = -sinα iM$+a
2k=arWY`
sin(π-α) = sinα dl;D<3E<
~M qR@8Kf
cos(π-α) = -cosα Msx}^j#D,
UZ[["[
sin(π+α) = -sinα 2A@CRp{N
jk,fII/
cos(π+α) = -cosα >kQsKxq
Di:2sVlar
tanA= sinA/cosA \D~)l.
trmO[&4
tan(π/2+α)=-cotα 5syQOY23
P5(V xe
tan(π/2-α)=cotα :&u5+N"NI"
x`)5Fc.3=
tan(π-α)=-tanα !};-v`}du
]-'+ ,A
tan(π+α)=tanα So+aVo9B
xqH\?T (
万能公式 w# 8hox\
J+N\h
dG#A>(
2
mm(G^
其它公式 _+:}xjwg%
9Ew EL
(sinα)^2+(cosα)^2=1 4AY\RC< E
8I:_Bsn>
1+(tanα)^2=(secα)^2 %k#90z<&3
QbyLqP~"
1+(cotα)^2=(cscα)^2 8y @A~f
y.AgC}gjFP
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ~(`A@I
;b1G]g`g"
对于任意非直角三角形,总有 U1e.*MJA
,9|,K<28b{
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC eB6k~H;c
g|pUP$Ce&
证: PBbnz$
!
ZzE8TJ
A+B=π-C &)7"c_KF
_*c u]_
tan(A+B)=tan(π-C) P22Els@F
?Gn>}MJ
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) &cAl
]`
Cm[yfR#4\
整理可得 6
G Ej
n3u|m?n3
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC BQ@z9v9e<
DHC_QiE$
得证 W)<6H@Yg
}UI m%$
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 olU IUQd
BY+5{-V*I
其他非重点三角函数 U|w][4MJ
?#?^NFZN
csc(a) = 1/sin(a) N O
K*[i9
;X ,=Jr+
sec(a) = 1/cos(a) Oh
?Uqdr
g8l( mU
Wje /Bw
.wj
S{
双曲函数 5qw%X0o
QV3SVyaU(S
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ^g eXD9M\
:y# C'r*m
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 u)J{e'zdfz
!=e9G*X
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Y.bH%,t{:
/#N <!_U*(
公式一: d5p,&C
R(K@:Bqd
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 4{i'@^hZb/
-Emj#st-
sin(2kπ+α)= sinα 0|E0'
]rLm"l[%
cos(2kπ+α)= cosα V6T@uMRD
R/:CeZk
tan(kπ+α)= tanα CkS
E*m
&g |