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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律  B g>%  
'`z<6 Ob  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 9it9#J)_<  
b(pKo$]  
  1、三角函数本质: &._`O  
Nk"}j}mtOx  
  三角函数的本质来源于定义 gj'= [9>   
v=w-mwi`=  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Xi3(;x  
K/8LTL&-6  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 8}KeHe)4g  
W_+0Rs  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 2 e}RK<N  
6,xXW\N3  
  推导: { s%U!<c/  
.sU2g,u  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 6{s u O  
1(dcT:1ox  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))  )/N=/<  
+2 [0EVH  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) "6;~%>H  
m<\pOvh95  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 [eptplBrS  
b`[w \l[~  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) dA \o)6  
A2Sy P<  
  [1] 5Fy(8FF  
2I@E  
  两角和公式 X\f?|m  
|?*0y@Z=g|  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ^<l^H)[M[  
fb,7Ei P  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  <ji,6{)ZxZ  
Ed9B}YP  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB @ >cu{*F_  
b4i} X$#)  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ws7n81`jY  
xC?+\Gwk  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) "lfQ`?43  
44rTqZ:hp  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) qMgdY56B  
eJKn5_x6h%  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  DP 4&HL[]  
%m~O9P  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 0B/=Gh.,N  
[o5MZ\L  
倍角公式 I2tWL /.-  
{#pfm)  
  Sin2A=2SinA•CosA }Kje-  
!2o^eg#(\a  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 w%DuJI:@<  
:p>"zRRY$  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) A%2xcsP  
R"_J!BjM<  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) z2&vC_qX  
g J0CrV|kn  
三倍角公式 7p>09CDUA  
gscNn-8  
   mmvCPx.  
CX~$ :4  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Pj.>"5  
F'{)-S  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) \\0w)'^R6  
R9uth#jSu  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) t=NEvVW  
tKxYK2eE  
三倍角公式推导 TN0JW@4{H;  
&~5tmaN4{s  
  sin3a 9l:+c!DgB  
4u\ uYe.  
  =sin(2a+a) <&#s_  
D z^T.  
  =sin2acosa+cos2asina <v.upTh  
\Uok+oY7w  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina h! K}[Ko  
)SfPJtnM  
  =3sina-4sin³a ` W_a>z  
uP%/j*  
  cos3a pu=K=:v  
\Cf(*R  
  =cos(2a+a) 0&6X=A@>Z  
lUs &+I  
  =cos2acosa-sin2asina Dt}->jPl|  
h ixxi:  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa :VGN>rv  
R (s_F8v  
  =4cos³a-3cosa #Ow<No)&  
{qSte]d  
  sin3a=3sina-4sin³a EE/hce9  
#d&X@3V\  
  =4sina(3/4-sin²a) )S!}  
I H.Q -  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] m'1Kk#hj  
_<RA.'w  
  =4sina(sin²60°-sin²a) y as[P6Y.  
j"Saf#bC  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) #t .~&W  
USCjY,]&Q  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] nJ.VW@<  
~'l.L >9)  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) A.7h8'$~q  
u|@B F.V  
  cos3a=4cos³a-3cosa F[nKv_-Gs  
y7G0@I  
  =4cosa(cos²a-3/4) j5I6f* u  
{nNJN=;[  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] *%wp5Up3  
0H>_6p>  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) 2q |i#Q  
{ye k8( Y  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) <33?*/P  
2jd!(1m  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} h<lr;[nM  
)@&,Zv  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) y#.n5!|  
xO&`ZC\  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] *]iH_WBU+m  
OY@+{  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] "<@,"34@`t  
.,{"kf"!sC  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) mn, ^(Z}V  
K}{oAe7X  
  上述两式相比可得 )<2Y X.  
L8O`y7l  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) a(0B- X  
%-336twm  
半角公式 -Ue A  
v2x XTP6  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ;{m6{>X_w  
iK# x&kS  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. *W;()08qI  
XjB#O}x  
和差化积 C#Owf^hJ(;  
o"lF>V~o2f  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] mF,<f`dO  
";s=?e/m  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ICVR)ZG  
)x1]4t@v_  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1Zs-I4=XN  
=dxw"*p)  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] A:@[^MR,7  
7}T FN,/v  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) C.j2s  
jOg9 J~  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ,)()5(A  
G Jikss`,A  
积化和差 LjD? #  
b! [*O-1k  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Lzqo?#-  
" CwZGwL(  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] =6PfJBT4  
GEGmL'tA  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] a0gP7<v>  
L^q V\(  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 'i$5}dXFN  
:+yRQ`?q  
诱导公式 u:juR_M}j  
DC_hcA l  
  sin(-α) = -sinα 'p\_Vy^84}  
%M#)BlLB  
  cos(-α) = cosα TRcQE  
w s8MD4  
  sin(π/2-α) = cosα WdYcJTg  
<Qz A`z  
  cos(π/2-α) = sinα ciOV#  
)3vQ;^  
  sin(π/2+α) = cosα >bznui$Fj  
qe^}"|[0h  
  cos(π/2+α) = -sinα iM$+a  
2k=arWY`  
  sin(π-α) = sinα dl;D<3E<  
~M qR@8Kf  
  cos(π-α) = -cosα Msx}^j#D,  
UZ[["[  
  sin(π+α) = -sinα 2A@CRp{N  
jk,fII/  
  cos(π+α) = -cosα >kQsKxq  
Di:2sVlar  
  tanA= sinA/cosA \D~)l.  
t rmO[&4  
  tan(π/2+α)=-cotα 5syQOY23  
P5( V xe  
  tan(π/2-α)=cotα :&u5+N"NI"  
x`)5Fc.3=  
  tan(π-α)=-tanα !};-v`}du  
]-'+, A  
  tan(π+α)=tanα So+aVo9B  
xqH\?T(  
万能公式 w#8hox\  
J+N\h  
   dG#A>(  
2 mm(G^  
其它公式 _+:}xjwg%  
9Ew EL  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 4AY\RC< E  
8I:_Bsn>  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 %k#90z<&3  
QbyLqP~"  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 8y @A~f  
y.AgC}gjFP  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ~(`A@I  
;b1G]g`g"  
  对于任意非直角三角形,总有 U1e.*MJA  
,9|,K<28b{  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC eB6k~H;c  
g|pUP$Ce&  
  证: PBbnz$ !  
ZzE8TJ  
  A+B=π-C &)7"c_KF  
_*cu]_  
  tan(A+B)=tan(π-C) P22Els@F  
?Gn> }MJ  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) &cAl ]`  
Cm[yfR#4\  
  整理可得 6 GEj  
n3u|m?n3  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC BQ@z9v9e<  
DHC_QiE $  
  得证 W)<6H@Yg  
}UIm%$  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 olU IUQd  
BY+5{-V*I  
其他非重点三角函数 U|w][4MJ  
?#?^NFZN  
  csc(a) = 1/sin(a) N O K*[i9  
;X,=Jr+  
  sec(a) = 1/cos(a) Oh ?Uqdr  
g 8l( mU  
    Wje /Bw  
.wj S{  
双曲函数 5qw%X0o  
QV3SVyaU(S  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ^geXD9M\  
:y# C'r*m  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 u)J{e'zdfz  
!=e9G*X  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Y.bH%,t{:  
/#N <!_U*(  
  公式一: d5p,&C  
R(K@:Bqd  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 4{i'@^hZb/  
-Emj#st-  
  sin(2kπ+α)= sinα 0 |E0'  
]rLm"l[%  
  cos(2kπ+α)= cosα V6T@uMRD  
R /:CeZk  
  tan(kπ+α)= tanα CkS E*m  
&gz]MA k  
  cot(kπ+α)= cotα  U2 X*?  
U F_ zxn  
  公式二: ~UtD+p)  
L45G=#lk  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: ].:HI:AfiY  
z*ql{la  
  sin(π+α)= -sinα 2L7 u(  
M M"AME|@  
  cos(π+α)= -cosα 5F%!`z Xq  
pYvDW;U  
  tan(π+α)= tanα \ Wcmvr  
%EH*YF'W  
  cot(π+α)= cotα a)'XtN]?7  
s9 z  
  公式三: !e&xT/S  
` q[k2t*  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: fW^&s49  
27\fTWFL:  
  sin(-α)= -sinα <Ww!  
&5MnED|W  
  cos(-α)= cosα d7 B/0  
I]N0a_G=  
  tan(-α)= -tanα j|:!i}  
+JH@i  
  cot(-α)= -cotα >Ml^mc  
qga`|l2D  
  公式四:  )WP;q  
Ar72R) b  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: @:Lj'C)llI  
#GTJBe  
  sin(π-α)= sinα 5ozeZ'C  
$Ms\_iI  
  cos(π-α)= -cosα -niS2LdH  
g+SplMKT  
  tan(π-α)= -tanα 5/yaP s6M  
F0hi.S M  
  cot(π-α)= -cotα >c&Qu2.  
lshEit.$H  
  公式五: 9Es|CSVq-  
b>27K@@2  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: ,K87LV:][  
Poq<  
  sin(2π-α)= -sinα ^<L `&l;+^  
v >BK/+x<"  
  cos(2π-α)= cosα Q =//e6  
Y*ZqW8  
  tan(2π-α)= -tanα HgE#H^,+  
/gnRbZ'(  
  cot(2π-α)= -cotα S{|c?D  
wF~M:v/p  
  公式六: b"HTR.cO]  
;)BDO~I  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: ;My!nY@Je  
9 #m@1@  
  sin(π/2+α)= cosα O\>P-f/HL  
{TA2HF@=  
  cos(π/2+α)= -sinα ;GU2K.]*  
>+1U,mS;G  
  tan(π/2+α)= -cotα 5[\02662M}  
dqRPn/#s  
  cot(π/2+α)= -tanα DP #a>b  
^<Jz.b5  
  sin(π/2-α)= cosα @:U?"mZ  
!z0QW(n*#  
  cos(π/2-α)= sinα ,)|kXTyK  
|9'&I  
  tan(π/2-α)= cotα gU'~_@DzR%  
n!,g V8NS  
  cot(π/2-α)= tanα ,@.~ku,t  
jdG"_k{  
  sin(3π/2+α)= -cosα (cGf:1T  
+&e'lWy  
  cos(3π/2+α)= sinα !5 Y:N4  
( jv "&  
  tan(3π/2+α)= -cotα uJ < b;F-  
t!VL4|7x  
  cot(3π/2+α)= -tanα #yYv,qC{ 0  
wBXmpM/  
  sin(3π/2-α)= -cosα Z<(EI\|  
+Wr?Y  
  cos(3π/2-α)= -sinα w IHQn-B  
>c\6[6T  
  tan(3π/2-α)= cotα n+A X"O*  
g9 5KyR%^  
  cot(3π/2-α)= tanα ,ub^x s  
4abDgM  
  (以上k∈Z) ~1[E=sJ  
G7ODK^+%z@  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Eob ]]Yn  
'6HtSDdNN  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 2kNz3FcE  
\.@ =6WY  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } PN(s8{>r!  
j4Bv}D'}A  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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