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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律  {&}Q~,  
kac/:jNP  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. _EcXE ]'f  
"EmU_oW  
　　1、三角函数本质： aB\Bek.We  
0aOA%+I?  
　　三角函数的本质来源于定义 FP*$xttW  
Zst~ _g6  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 :ITdG`A  
D 1k^G2I  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 A)J$2]wT  
}Pb tjD  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 1~ W9i?T  
{l+vJ x1  
　　推导： *YEFTh  
w #A:T$  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 M4*qviIm  
? ."`X^H4  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))  )ORl"Qo  
W|Zwz<00  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) qZTUFBR *  
#32Y;  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 cCDK  
 @ 8)+n'  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ;t5&O#Gq  
dXjVBKy?  
　　[1] 0Ilk/g  
(K S0&UuMn  
　　两角和公式 A@ G6%E~  
@ J51Z,N[b  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB qfNu>D  
0`R68X3V  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  2d+sb~  
%)%#F\b<  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB tgZAmi}?'  
/Yuav 4x  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Yt W<Mt  
!.$+0/  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) fa^:~  
,rRRGQHAm  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 0O[LQ6$lt  
I1eSU"2dk  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  pL_;oBb  
k:/Q>Bk,  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) :m])P5,$b  
:ul5n{F 1<  
倍角公式 _(9\_ye  
 t[4^  
　　Sin2A=2SinA•CosA G4O^$;nOo  
*c_Z^1W/e  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 }LIE}Sor(  
(l" UoM  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） |`Mi}@9V  
<6l>VS C  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） CrO$ cVDme  
WAV,;9+/  
三倍角公式 ) PDI3{#  
*d]BsJ  
　　 mh1C }XB  
g+;.)i\9  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) /Ix}j  
o@=$O]-8z  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) =?wb'4G5  
uN6-;Ch|6  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Ry(01YfR,  
?g X?c2  
三倍角公式推导 ,CMB- B,2  
V@.\8  
　　sin3a BDVH8K  
4tv\6{ U  
　　=sin(2a+a) Vk3CH/]|y  
Tln{QiAw  
　　=sin2acosa+cos2asina jN^AKf2+  
sA j+  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ?&CHc ^=Xz  
.uk% ]   
　　=3sina-4sin³a IU^Fcpbt  
)$E<\*5.o  
　　cos3a &ibG?%7  
3OS^=/$x  
　　=cos(2a+a) i oan e  
1 vUqa z  
　　=cos2acosa-sin2asina GNDNnP*  
Qdf<UzN2  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa `FvNpg|PS  
G8B.6"8 1  
　　=4cos³a-3cosa K<ejqo  
-. GNykS  
　　sin3a=3sina-4sin³a |(,=moWNr  
CO|D3!c{  
　　=4sina(3/4-sin²a) Qpn`XJKp  
vB6zqI9  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] *x|>m06s  
zEc#@UL  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) )WN/'i`G  
Y|nGbUp#  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) dN XD  
eG{e3@`M  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] `iGRi$<  
y-F j\u|M  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) q\h S~3t  
O,z|FQ>Q  
　　cos3a=4cos³a-3cosa NOx:+D  
(@eW<d=  
　　=4cosa(cos²a-3/4) (uoIwW&wd  
bhoMt  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] w'$zHg,E =  
Zl n6wBW  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 1fR@y / ^  
o,c'?u<`  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 7RW'mv  
u.rydWRFo  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} qP}nx- _  
CWBIyd  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) b,)7_4b  
osupya/JE  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] jj<A5C4)  
TKiJIDy2  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] R|:jI  
":z%mE:  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Y ZAuXN S  
X}H2Ap8  
　　上述两式相比可得 DTES5U(}}  
#{ Pd  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) CzbfV3y4  
=O\.0#43  
半角公式 0yZq8et+q  
~Z 4 `*_  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); =  odu:`  
pP529K<x+  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. >TMo3tZ>  
4oLdmc  
和差化积 $,6?K\d@n  
*5xO!E u$  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] fne_*aKjY  
BCSy_N =h.  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] SG]-&^$V  
^X!W>Xx  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] h~.}m  
GWNu% 0W  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 3NE94)okM  
SH|;ZAd]  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) eNpm.mlP  
z 2?I+  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) i!sXL  
I,kD^  
积化和差 Ku'/`zC  
.F6#a*|  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] )E e~Lya  
T $[GGD  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] l"xwf#;,xR  
Oj )LJ  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] mbiS&C8  
*/<s3V'm  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Ahfc`  
L.EWN xQc  
诱导公式 T7IxQG4S  
2Hk$BQHm  
　　sin(-α) = -sinα FQrVzpLZu  
mRxWsV  
　　cos(-α) = cosα D 8S@2x`#  
)+!&(\  
　　sin(π/2-α) = cosα AW)DZ,ye&  
=/ojZx C?  
　　cos(π/2-α) = sinα tPJ\yd1VA  
Hk>5OD\  
　　sin(π/2+α) = cosα *tl9d_ v_  
`k@%Tu   
　　cos(π/2+α) = -sinα -7BP.2^  
6ame%O~x~  
　　sin(π-α) = sinα y:hf) _DN  
S!w\?3[(  
　　cos(π-α) = -cosα I#`)kqc  
.lf*4?D  
　　sin(π+α) = -sinα EU/ZEk  
JB0RcM"(  
　　cos(π+α) = -cosα hf].Z  
s`(TQjl  
　　tanA= sinA/cosA wm*&tR2  
u tdS&L  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα [; If`F%  
)!%G=dH6l  
　　tan（π/2－α）＝cotα }b25{U|E7  
`;.aNkj  
　　tan（π－α）＝－tanα *8OkhUG*]  
}K aRi  
　　tan（π＋α）＝tanα S+I+@E 0  
vD`ml.@K  
万能公式 bAfU4;3~b  
5 vu3|j&0  
　　 .K?>vH  
_VtG*}(W7  
其它公式 Rt_&49  
ms3Ls `>L  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 E,GA%  
!k@-X  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 OI/=x9  
+Ob#qH  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 )9K7:gkS  
gR1[1mPo)  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 u!zn  
)k\:U@(GU8  
　　对于任意非直角三角形,总有 (xl6-X  
%dO :-  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 2Ayj$f8  
`RbVMEp9G  
　　证: t$-s(  
V7tU>/+  
　　A+B=π-C lrDOaw$  
AbE<f8  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 75DO#7a  
0Y:C5Xy+\  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 1: }a"RHdE  
QDg-LO&  
　　整理可得 bk*Eyh%X  
 *8G}}$  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC B~W\)oSb)  
.,-$z1.  
　　得证 1~e9brPOx  
<QT M$hl  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 dwVlrS  
9"9"8u?c  
其他非重点三角函数 t$1 T*  
8A,); PA  
　　csc(a) = 1/sin(a) w,x\d  
ueMP2c9  
　　sec(a) = 1/cos(a) |f=dO[[I  
yL$VO3f  
　　 Y[~0$1&  
Z42,^  
双曲函数 0%Y+%lQ  
F"&CA^\  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 y}`hJ3/-6l  
.sFXST#Z  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 PGY#^GA  
HI'-#lMC  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 6E_2 =  
/y C{Na$?  
　　公式一： cs| NGrj%  
|BaIWZe{  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： N <kp=M  
-" Z DPjV  
　　sin（2kπ＋α）= sinα =OU7.[;q:9  
\\oy.^+l  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ?aJgatK<)  
MXf"?v@T  
　　tan（kπ＋α）= tanα 4t d#P$?  
D\}f UtYB  
　　cot（kπ＋α）= cotα 1Kb+ZL3Z  
c 93X~l$  
　　公式二： Ubb>H*9  
s(^30uB@C  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 1E1SX x9vf  
1#+cyL @K^  
　　sin（π＋α）= -sinα 6V>|cX  
Y6= {  
　　cos（π＋α）= -cosα Qj xvus  
nWWSj=yF  
　　tan（π＋α）= tanα 35 wok_8l  
4.zC?9U  
　　cot（π＋α）= cotα G(>OeDsQ0B  
bGAs9yM66  
　　公式三： g2! 2qc+D  
8k X/pb !  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Z c=r{Krp  
;hY\>X  
　　sin（-α）= -sinα {!zRn p;  
/i(rL6  
　　cos（-α）= cosα {$;mES)7  
5j[}G   
　　tan（-α）= -tanα 4m#zL#VSP  
Za}zj/h  
　　cot（-α）= -cotα }ck=:s>  
`XW[6pu  
　　公式四： q5J@V}dlDn  
,l(h| &E  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ,2#tK6cF0  
g,qhL  
　　sin（π-α）= sinα Ge'r\4  
nggH)8*2W  
　　cos（π-α）= -cosα =SIa Yt8+  
v x,Yc3  
　　tan（π-α）= -tanα juI<{D#  
O_3--p#%DW  
　　cot（π-α）= -cotα V^$mM4Q  
J0UAbEg  
　　公式五：  FoEARYX  
K!_q,[  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： UE!'5xY  
SeKa4dB  
　　sin（2π-α）= -sinα E :|f@  
C1q f&wT  
　　cos（2π-α）= cosα RyuZ!_~|  
S8%P4 'S(  
　　tan（2π-α）= -tanα Py![O3r=C  
8W49^T8*  
　　cot（2π-α）= -cotα MpghMr#  
U@N'B v  
　　公式六： ;@U@[ ]Y  
)I&S6 gQ\P  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 7+#M=:.G  
o2j2Bwq8"  
　　sin（π/2+α）= cosα l_1NS:D<W  
7ucbL?D  
　　cos（π/2+α）= -sinα fmpW,o8"  
N h][^5F  
　　tan（π/2+α）= -cotα 5&u q%%7g  
q)bCs>v>j  
　　cot（π/2+α）= -tanα x-N{rW  
:`6izpb`H  
　　sin（π/2-α）= cosα lGz0v.U /  
o918fvtAT  
　　cos（π/2-α）= sinα o}UU_%}  
wCF&l;U  
　　tan（π/2-α）= cotα ]Y@) cd  
O:_{I,JU>  
　　cot（π/2-α）= tanα S' 2@zG  
wFRi0  
　　sin（3π/2+α）= -cosα TI V,uX  
6e[,G0Arw  
　　cos（3π/2+α）= sinα 7bM|E}'2T  
e55{GEv  
　　tan（3π/2+α）= -cotα T< TWYTQ@%  
B%m+_QJV  
　　cot（3π/2+α）= -tanα .@u gJ9~  
b6z4DG8  
　　sin（3π/2-α）= -cosα V &|8-  
MVi)wA  
　　cos（3π/2-α）= -sinα }2Ai,[|  
cJHjA?@}  
　　tan（3π/2-α）= cotα v+j[jz9=o_  
grg :lDX^  
　　cot（3π/2-α）= tanα L_Ue5t :"  
L-O=_mRv  
　　(以上k∈Z) e>ho+"-  
Fr;W q'w  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 62aBp.h~t>  
3in"[<o\  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ]HStK  
z~5LeC,-LK  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } [)S~C*-(  
QCxAFLLa c  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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