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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 E{It.lvw8  
S9`om['  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. !]Hdp)k2!  
3jy +VcN  
  1、三角函数本质: )K e g-  
uNXxH  
  三角函数的本质来源于定义 }:mG9%  
Xb`ots  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Z*I v=  
[_Ig<]  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 `gaxD-o>$  
DBQ8;-W  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: h ~R,x^Aw  
<i Dm3  
  推导: $ycuq4Nz  
ZvD4d6gZ)  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 Cx= Zd  
=keJsw{  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) P]n|n  
[a(TGFCf  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 9)J06i  
S55KiXl  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 =0@)5+T  
tR5 Kpw  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) d.P>{-d  
:UEy*y_  
  [1] (yjE4B3  
)'o~ZG6  
  两角和公式 i!Zh)M/u  
s>_g  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB }+M 4NR"  
`x I]~ $$  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Rf||zH^;/  
Kq2~?O^c'  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Wv}I>-C  
%3F2 q  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB t4;.$FJ5  
%}Yq ; v]V  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) dJKAuS7  
{CSK3{Cb  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) %9Ahp'`W  
8-hD#wJh4  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  DhZ9@G  
y@gGYu7~  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) }=wd8|"  
[twOBu  
倍角公式 Tg IQ U4j  
NU6Xn#Rvqx  
  Sin2A=2SinA•CosA  [3e0tmR  
]XI6q  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 85>ON' [m  
s1+ V G  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) aQyw"?!/  
YM")JpS  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) *"~9g@~Y,  
&*k|>  
三倍角公式 En_fN04)J  
+ s7i|T  
   el`,.z  
~`t&]z]  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ;-wgGS)/  
vkhkW+ZC;  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 4  Z_  
S #a   
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) XDu>7thT>  
C+]T [  
三倍角公式推导 yFi1jFwc  
Tov U  
  sin3a 5`\ZnQ"Y  
w`.+3V9{  
  =sin(2a+a) %?Y++aO11  
y 5RY  
  =sin2acosa+cos2asina n|_+Z(8!  
p8HtUY T  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina gi&b12k,C  
 &/6#q8  
  =3sina-4sin³a B3em.&1S  
t(J0GUG=  
  cos3a [D:L: <B  
r>}5R\.UU  
  =cos(2a+a) >vG}  
H}YUr*Q  
  =cos2acosa-sin2asina 0 iRpoHE  
/JC A2.z  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa q'_(\Q .d  
^IZ c/ Ta  
  =4cos³a-3cosa gV_tP*:D  
#3e,j~  
  sin3a=3sina-4sin³a ~p71i 1 ]c  
"M.YK gW  
  =4sina(3/4-sin²a) E]1i?X6d%|  
tX! JT}^  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] %@nFW9vs  
[X>mRv1(<  
  =4sina(sin²60°-sin²a) ,Pb0yI{Z  
*gz=.aFf  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) &k-zoH=~  
;h|~oo,F  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] jzN%s{xU  
D->ESsl2  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) [YzkEs9[  
K?{qag2  
  cos3a=4cos³a-3cosa x- ;X\  
(_/0'jBm  
  =4cosa(cos²a-3/4) 0:y#Eps7u  
Eb]0U_  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] )CWx)WW-f  
aOF] 2Sv3  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) }M3"Or)  
6 B?OPh;  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ?X/sitG  
d8ZO~H_,  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} >Pv8 B5  
[m6B'~X+b  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ;?q%R@g  
^b o1]+'  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] #]n~Up"6  
xLU.-lB  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 3 /I0h  
9@l'Q  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) [6BGHWC!_  
}uPJD  
  上述两式相比可得 @\=^i#/  
WMbiSQCGX  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) e/y'Z_DJjA  
=JRC7  
半角公式 ,y7&ub_T  
n0]MR)  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 5#@L3Xs@  
mMRP7JRn  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ~lVs^h*AJ  
#m>+)q-q  
和差化积 .K+m7]}]  
sJ/c-r L  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \pQn?p?+S  
Jk 2llVD  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ,uq^{~  
3z4;,M._M  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] d fn}r,@  
$,W0CEB  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] vs-G.Hp  
Dy{%}<  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Qfwzqh  
%)wP?^}  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) M2SOx2+K?  
o0s,A2poTO  
积化和差 DL3>"6*`\  
G2U$-}c0O  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] +W#rWUGr  
CQ*Rm;I  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] &N  
#z.}x}+  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] B<(7w#  
Bk,`cF+11B  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] &I9> &"Tfr  
g&e k3]G  
诱导公式 "r`9j+<O  
.C!Yc$  
  sin(-α) = -sinα `/$<SqO  
.lOC7K*  
  cos(-α) = cosα D)z =  
`4"z  
  sin(π/2-α) = cosα M v^1`{#  
%?FaPm  
  cos(π/2-α) = sinα P^|Y6k>  
v(MY~u  
  sin(π/2+α) = cosα lyU`E\ #  
+OWQ s  
  cos(π/2+α) = -sinα 6\'Xi*Wh  
,FNxKv s&  
  sin(π-α) = sinα <[wWiWjJR  
Lh`\_^ZgT  
  cos(π-α) = -cosα #`6mM  
/D4iF9tHv  
  sin(π+α) = -sinα =@ _W^BP@  
7@)H|JYj)P  
  cos(π+α) = -cosα og A]9  
d qB<SQ  
  tanA= sinA/cosA ;n*Cu   
XoukA<,  
  tan(π/2+α)=-cotα i(p@4c  
BZb8ie-3D  
  tan(π/2-α)=cotα (5WNuh;h`  
"RPm%^ Rn  
  tan(π-α)=-tanα {|CUSeT  
`:#HAzzo  
  tan(π+α)=tanα p}<IfOy8  
![jJn8=  
万能公式 Fri<Nm n  
5iPS&yJ  
   moJ /*u  
g*) thSJ  
其它公式 s|T  \E$P  
v_4H7^  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 r>0c}H  
)B~Yr  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 g_hea3*'T  
"&Bu'%@wP  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 Wb= Z{1A  
&4t+P  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 |`M.,"  
~j_&><pm1M  
  对于任意非直角三角形,总有 R^0T2$T  
Nzm,  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 6]~f |H]X  
 L@$` *<  
  证: IN<z&nd8a  
ANOu&D*  
  A+B=π-C z;UU t  
@X;-Zha|  
  tan(A+B)=tan(π-C) vGim0{/ P  
*\)L?}r8  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) *T 2h*B qZ  
^Mu@317 ~9  
  整理可得 t nDssWFVM  
NVH0;ed'(g  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC XQcj4V]  
WZba (G~f  
  得证 a='kG B,c  
[Ys/f&k}3  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 }4<[~{  
KHyRx: %XV  
其他非重点三角函数 Y-nhHBbl  
Cr~bi#@A  
  csc(a) = 1/sin(a) j%g*r  
<vl&A[C6#  
  sec(a) = 1/cos(a) rY]m iNvQ  
VBQ ua7  
   WgzdpKM  
Spy4?L]7!K  
双曲函数 Z:TJSp@  
r=1Cc%  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 srjKY.A6  
Jc4A   
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 w}[Cj2't  
ZmP{?eBfr  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 6d<<v>  
pRQaVyj1$X  
  公式一: ,Fy9:ZpQU  
>4z 5B)  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: IruMUFH-  
Qc^-QkSW  
  sin(2kπ+α)= sinα m;%ax}  
Q #1UQQ  
  cos(2kπ+α)= cosα 9#Y,rT7.E  
R$ Qqcp1M  
  tan(kπ+α)= tanα  `+ 5sPb  
T7c[fs  
  cot(kπ+α)= cotα Y@%]dR;  
-}=y/N A  
  公式二: <wp%: `I  
* 4/)=~  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: cI&z(/vl  
 Bro7~Xf  
  sin(π+α)= -sinα 6z"1Jnvd  
4_hu ;Tx  
  cos(π+α)= -cosα rKsl.gi  
B  g^A6  
  tan(π+α)= tanα |@/e zs&{|  
Lj{Y%yo9  
  cot(π+α)= cotα 2iOwfxj  
5";.mdqCE  
  公式三: %#mQ(.  
0&UHm8LT'  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: wn Lxp  
;T6tu\  
  sin(-α)= -sinα w X ~Fh`  
Z<@,Y1F  
  cos(-α)= cosα #>'?O0nq  
O#VTy_a  
  tan(-α)= -tanα VS8sjZ=R  
C{6|1:J[  
  cot(-α)= -cotα 7h1cGn%M  
2 Iz8g G  
  公式四: x^x%9^#_L  
Xqu"gw  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: T"fy} }0  
Oq+3602\s  
  sin(π-α)= sinα p'dEPt;h  
- PO.@qjw  
  cos(π-α)= -cosα kY~Yb)/  
'T&_T A)k\  
  tan(π-α)= -tanα 1H/}0) h@  
S+%"D;+>#  
  cot(π-α)= -cotα th0 cz#r6  
j[Y3"{.  
  公式五: trP!"qI  
3l6@DdB&  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: M]m|+vh&}  
TS3OQ!094  
  sin(2π-α)= -sinα 0=SSI=;-  
n=RSb}MwX  
  cos(2π-α)= cosα k|_ TPi  
Ag?pN]p  
  tan(2π-α)= -tanα i`hQ9%sj  
-fE52A/^s  
  cot(2π-α)= -cotα - .6zV  
.Ziu.-"  
  公式六: zw!Mf/*<H  
g|f@tCGF  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: $H^%=v  
\u&7? c  
  sin(π/2+α)= cosα .6 m}N  
L+5-oruFXC  
  cos(π/2+α)= -sinα / *3>:KB  
'D(P7d/  
  tan(π/2+α)= -cotα B\c [wsd  
vD4!K}M K  
  cot(π/2+α)= -tanα zDda#j0  
2$q\{HA/9  
  sin(π/2-α)= cosα ^%K|0$pi  
+<F$L{L  
  cos(π/2-α)= sinα }z[x  
+c C]o4_t2  
  tan(π/2-α)= cotα \} l/I e  
S4pPb`r#d  
  cot(π/2-α)= tanα O=I'p%%=[  
p0bVu>:I&  
  sin(3π/2+α)= -cosα kcwNs-.@  
[)j6x%s  
  cos(3π/2+α)= sinα EE>:APS  
V3^`J(eI  
  tan(3π/2+α)= -cotα ^S|?-v9`  
fp>U1(jI  
  cot(3π/2+α)= -tanα KVM2K8"=  
t&vgFd/-O  
  sin(3π/2-α)= -cosα Z?-4nuz  
"7<3\$u  
  cos(3π/2-α)= -sinα 2Z ?BN h  
!OXQ*t5[  
  tan(3π/2-α)= cotα #Fle;d[  
xn]iNU_R "  
  cot(3π/2-α)= tanα VH!R6kV  
8WS-\;No  
  (以上k∈Z) 7#L]PV   
>d#=PX$\{  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 o :Y4P  
 VpOo  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = pq ~;A (=  
!Y+xDZy  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } }.=4S  
1(} [s  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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