三角函数内容规律 E{It.lvw8
S9`om['
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. !]Hdp)k2!
3jy+VcN
1、三角函数本质: )K eg-
uNXxH
三角函数的本质来源于定义 }:mG9%
Xb`ots
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Z*I
v=
[_Ig<]
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 `gaxD-o>$
DBQ8;-W
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: h ~R,x^Aw
<iDm3
推导: $ycuq4Nz
ZvD4d6gZ)
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 Cx=
Zd
=ke Jsw{
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) P]n|n
[a(TGFCf
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 9)J06i
S55KiXl
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 =0@)5+T
tR5
Kpw
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) d.P>{-d
:UE y*y_
[1] (yjE4B3
)'o~ZG6
两角和公式 i!Zh)M/u
s>_g
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB } +M
4NR"
`xI]~
$$
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB Rf||zH^;/
Kq2~?O^c'
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Wv }I>-C
%3F2
q
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB t4;.$FJ5
%}Yq
;v]V
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) dJKAuS7
{CSK3{Cb
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) %9Ahp'`W
8-hD#wJh4
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) DhZ9@G
y@gGYu7~
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) }=wd8|"
[twOBu
倍角公式 TgIQU4j
NU6Xn#Rvqx
Sin2A=2SinA•CosA [3e0tmR
]XI6q
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 85>ON'[m
s1+ V G
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) aQyw"?!/
YM")JpS
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) *"~9g@~Y,
&*k|>
三倍角公式 En_fN04)J
+
s7i|T
el`,.z
~`t&]z]
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ;-wgGS)/
vkhkW+ZC;
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 4 Z_
S #a
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) XDu>7thT>
C+]T
[
三倍角公式推导 yFi1jFwc
Tov U
sin3a 5`\ZnQ"Y
w`.+3V9{
=sin(2a+a) %?Y++aO11
y5RY
=sin2acosa+cos2asina n|_+Z(8!
p8HtUY T
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina gi&b12k,C
&/6#q8
=3sina-4sin³a B3em.&1S
t(J0GUG=
cos3a
[D:L:
<B
r>}5R\.UU
=cos(2a+a) >vG}
H}YUr*Q
=cos2acosa-sin2asina 0 iRpoHE
/JC
A2.z
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa q'_(\Q .d
^IZ c/Ta
=4cos³a-3cosa gV_tP*:D
#3e,j~
sin3a=3sina-4sin³a ~p71i
1]c
"M.YK
gW
=4sina(3/4-sin²a) E]1i?X6d%|
tX! JT}^
=4sina[(√3/2)²-sin²a] %@nFW9 vs
[X>mRv1(<
=4sina(sin²60°-sin²a) ,Pb0yI{Z
*gz=.aFf
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) &k-zoH=~
;h|~oo,F
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] jzN%s{xU
D->ESsl2
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) [YzkEs9[
K?{qag2
cos3a=4cos³a-3cosa x-
;X\
(_/0'jBm
=4cosa(cos²a-3/4) 0:y#Eps7u
Eb]0U_
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] )CWx)WW-f
aOF] 2Sv3
=4cosa(cos²a-cos²30°) }M3"Or)
6
B?OPh;
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ?X/sitG
d8ZO~H_,
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} >Pv8B5
[m6B'~X+b
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ;?q %R@g
^b o1]+'
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] #]n~Up"6
xLU.-lB
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 3 /I0h
9@l'Q
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) [6BGHWC!_
}uPJD
上述两式相比可得 @\=^i#/
WMbiSQCGX
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) e/y'Z_DJjA
=JRC7
半角公式 ,y7&ub_T
n0]MR)
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 5#@L3Xs@
mMRP7JRn
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ~lVs^h*AJ
#m>+)q-q
和差化积 .K+m7]}]
sJ/c-r L
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \pQn?p?+S
Jk2llVD
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ,uq^{~
3z4;,M._M
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] d
fn}r,@
$,W0CEB
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] vs-G.Hp
Dy{%}<
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Qfwzqh
%)w P?^}
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) M2SOx2+K?
o0s,A2poTO
积化和差 DL3>"6*`\
G2U$-}c0O
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] +W#rWUGr
CQ*Rm;I
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] &N
#z.}x}+
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] B<(7w#
Bk,`cF+11B
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] &I9> &"Tfr
g&ek3]G
诱导公式 "r`9j+<O
.C!Yc$
sin(-α) = -sinα `/$<SqO
.lOC7K*
cos(-α) = cosα D)z=
`4"z
sin(π/2-α) = cosα M
v^1`{#
%? FaPm
cos(π/2-α) = sinα P^|Y6k>
v(MY~u
sin(π/2+α) = cosα lyU`E\#
+OWQ
s
cos(π/2+α) = -sinα 6\'Xi*Wh
,FNxKvs&
sin(π-α) = sinα <[wWiWjJR
Lh`\_^ZgT
cos(π-α) = -cosα #`6mM
/D4iF9tHv
sin(π+α) = -sinα =@ _W^BP@
7@)H|JYj)P
cos(π+α) = -cosα ogA]9
d qB<SQ
tanA= sinA/cosA ;n*Cu
XoukA<,
tan(π/2+α)=-cotα i(p@4c
BZb8ie-3D
tan(π/2-α)=cotα (5WNuh;h`
"RPm%^Rn
tan(π-α)=-tanα {|CUSeT
`:#HA zzo
tan(π+α)=tanα p}<IfOy8
![jJn8=
万能公式 Fri<Nm
n
5iPS&yJ
moJ /*u
g*)thSJ
其它公式 s|T
\E$P
v_4 H7^
(sinα)^2+(cosα)^2=1 r>0c}H
)B ~Yr
1+(tanα)^2=(secα)^2 g_hea3*'T
"&Bu'%@wP
1+(cotα)^2=(cscα)^2 Wb= Z{1A
&4t+P
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 |`M., "
~j_&><pm1M
对于任意非直角三角形,总有 R^0T2$T
Nzm,
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 6]~f|H]X
L@$`*<
证: IN<z&nd8a
ANOu&D*
A+B=π-C z;UU t
@X;-Zha|
tan(A+B)=tan(π-C) vGim0{/P
*\)L?}r8
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) *T2h*B
qZ
^Mu@317 ~9
整理可得 t
nDssWFVM
NVH0;ed'(g
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC XQcj4V]
WZba (G~f
得证 a='kG
B,c
[Ys/f&k}3
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 }4<[~{
KHyRx:
%XV
其他非重点三角函数 Y-nhHBbl
Cr~bi#@A
csc(a) = 1/sin(a) j%g*r
<vl&A[C6#
sec(a) = 1/cos(a) rY]m iNvQ
VBQ ua7
WgzdpKM
Spy4?L]7!K
双曲函数 Z:TJSp@
r=1Cc%
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 srjKY.A6
Jc4A
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 w}[Cj2't
ZmP{?eBfr
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 6d<<v>
pRQaVyj1$X
公式一: ,Fy9:ZpQU
>4z 5B)
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: IruMUFH-
Qc^-QkSW
sin(2kπ+α)= sinα m;%ax}
Q#1UQQ
cos(2kπ+α)= cosα 9#Y,rT7.E
R$Qqcp1M
tan(kπ+α)= tanα
`+
5sPb
T7c[fs
cot(kπ+α)= cotα Y@ %]dR;
-}=y/N A
公式二: <wp%: `I
* 4/)=~
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: cI&z(/vl
Bro7~Xf
sin(π+α)= -sinα 6z"1Jnvd
4_hu
;Tx
cos(π+α)= -cosα rKsl.gi
B
g^A6
tan(π+α)= tanα |@/e
zs&{|
Lj{Y%yo9
cot(π+α)= cotα 2iOwfxj
5";.mdqCE
公式三: % #mQ(.
0&UHm8LT'
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: wn Lxp
;T6tu\
sin(-α)= -sinα wX ~Fh`
Z<@,Y1F
cos(-α)= cosα #>'?O0nq
O#VTy_a
tan(-α)= -tanα VS8sjZ=R
C{6|1:J[
cot(-α)= -cotα 7h1cGn%M
2 Iz8gG
公式四: x^x%9^#_L
Xqu"gw
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: T"f y}}0
Oq+3602\s
sin(π-α)= sinα p'dEPt;h
-
PO.@qjw
cos(π-α)= -cosα kY~Yb)/
'T&_T
A)k\
tan(π-α)= -tanα 1H/}0)
h@
S+%"D;+>#
cot(π-α)= -cotα th0
cz#r6
j[Y3"{.
公式五: trP!"qI
3l6@DdB&
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: M]m|+vh&}
TS3OQ!094
sin(2π-α)= -sinα 0=SSI=;-
n=RSb}MwX
cos(2π-α)= cosα k|_ TPi
Ag?pN]p
tan(2π-α)= -tanα i`h Q9%sj
-fE52A/^s
cot(2π-α)= -cotα - .6zV
.Ziu.-"
公式六: zw!Mf/*<H
g|f@tCGF
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
$H^%=v
\u&7? c
sin(π/2+α)= cosα .6 m}N
L+5-oruFXC
cos(π/2+α)= -sinα /*3>:KB
'D(P7d/
tan(π/2+α)= -cotα B\c
[wsd
vD4!K}MK
cot(π/2+α)= -tanα zDda#j0
2$q\{HA/9
sin(π/2-α)= cosα ^%K|0$pi
+<F$L{L
cos(π/2-α)= sinα }z[x
+c C]o4_t2
tan(π/2-α)= cotα \} l/I e
S4pPb`r#d
cot(π/2-α)= tanα O=I'p%%=[
p0bVu>:I&
sin(3π/2+α)= -cosα kcwNs-.@
[) j6x%s
cos(3π/2+α)= sinα EE>:APS
V3^`J(eI
tan(3π/2+α)= -cotα ^S|?-v9`
fp>U1(jI
cot(3π/2+α)= -tanα KVM2K8"=
t&vgFd/-O
sin(3π/2-α)= -cosα Z?-4nuz
"7<3\$u
cos(3π/2-α)= -sinα 2Z
?BN h
!OXQ*t5[
tan(3π/2-α)= cotα #Fle;d[
xn]iNU_R "
cot(3π/2-α)= tanα VH!R6kV
8WS-\;No
(以上k∈Z) 7#L]PV
>d#=PX$\{
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 o :Y4P
VpOo
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = pq~;A
(=
!Y+xDZy
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } }.=4S
1(}
[s
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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