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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ?Tgm2SSj  
jX@O5ps  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. hQX#@)p*  
59iqN,V&y  
　　1、三角函数本质： X#cp l2  
f,%-pvW=  
　　三角函数的本质来源于定义 (<D.=6?m:  
o lVlJs(|  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 g`x a?Xm  
rO>_0kz  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Og8j tqT  
s '\BlG&}  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： R/a6hlP+  
qj_4mX1d  
　　推导： `3|k)_IQ=  
<5S3lm  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 S:J(l,qFQ  
ao.R&!M  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 'TKbvt(  
5wlO5mYk'}  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) I6 hDPG  
vG[diJO  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 eg=_r p  
$"FiN5:)  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） @Yz>1U)  
gLF  
　　[1] !c"~m0IL_  
())GM^nT  
　　两角和公式 %k^L7P  
5jibYBL  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB (V}Aj  
OWI|  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  .-o\<y  
7a\g"Wf=g  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB >0wwdoc  
tZYX= 6  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB aB=^xZ!E  
]pZ!"}Bz  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) IN{:Wz  
uN:e[2b g=  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)  P<A f  
MY YI^wi}  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  lHHg+  
Yu7,*&>F  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) -}w</{1<t  
d'?4\ [)  
倍角公式 ?~RiU_ns  
FE TJA,UJ  
　　Sin2A=2SinA•CosA \RZ7S:S/I  
# vc~  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ^nC&fPp* >  
X7%&@eAZ  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） B:8bhd({  
-W6q|o@3m`  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） _32#QM  
sk#\Xm[_  
三倍角公式 8^pREPg  
<mLNnW]  
　　 )7,#K|x;  
v^YQ"?m@  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 82{v`Jgx+  
Mq :bZoJM  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ]~B ;i  
sj9 36H  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 8r,A}n{:+  
5Mxv>gd  
三倍角公式推导 @Plk8  
"IO He|&  
　　sin3a #/.?YL+2  
g~GE 9c~K  
　　=sin(2a+a) !f#o]-  
"4B7 $#  
　　=sin2acosa+cos2asina uLD-q+v  
}W[JLp2  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Moq{24  
C1&-_xkr  
　　=3sina-4sin³a 5h^JMjt`!  
}ALL{dsl  
　　cos3a W%7YqMKe  
U wT+82V  
　　=cos(2a+a) R$[SYwDQ  
`+m*$}  
　　=cos2acosa-sin2asina Uu?aYC  
\t6PI0#d@8  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa t#paP^&  
F|2ap  
　　=4cos³a-3cosa Xo k#-5  
QX&\FUP\c  
　　sin3a=3sina-4sin³a >i*/r7GIin  
K1z' (f9  
　　=4sina(3/4-sin²a) u23R*w'm0  
V/5aY16Ni  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] LAm5 q  
H"'3(   
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ]Ss@lE  
Mes9u?oRqo  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) .#sG/0Mp>b  
&AdE  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] !-/3wG  
@+hP*#j `  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) %HSGTT  
4%]5RI  
　　cos3a=4cos³a-3cosa l2( z^&  
CSwV& i  
　　=4cosa(cos²a-3/4) vA#MKnRQ(  
]Q9Mh9%  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 1!P0MN/g  
q6a Gc Y  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) -3 7 K%J  
~ %mT42z  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) <KrIXM?XZ  
NA(=!`Xs  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} @#%"Og  
nBm.'x{Q  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) yEEa3z'I  
KR+dU{uO@  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] +P(o0tyLu  
WA:5 Pv  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] c6=KF 2  
ZAQ2Qm}d  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) rm`K<I>TY  
j1)lHi  
　　上述两式相比可得 , w9J?{}Z  
[f2Br{  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) \u3?A1m  
&./!9\f>m  
半角公式 X[PjO&  
V pejC:%  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); @m* bOE  
uZ6cPB  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. \:L S7o~  
Gu3 H#YS  
和差化积 LqvXwLa:xd  
g5zpM6R$  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] r&A ,e50  
>: 3sg  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] '2LBCr YD  
a:0gql  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 5WH?tPt  
}ZwdB&< qH  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] >@Qep"2  
{," OKJ%  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) O]+b%FF  
icCIWLg&Hu  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) C=a*boPrb  
>x'G,'5  
积化和差 -@91   
]f/X^r6Q  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]  T2-b^B]  
t J}Yf9$t*  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ~;,Z7Rl+c  
q8% uUo  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] UJu6e|+  
O{DGehC  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Lkv>n_q_  
9h~g_Gf#S  
诱导公式 #`^)oB=>.  
q6$iaXPG  
　　sin(-α) = -sinα -,{vQ!K  
<^F;?W  
　　cos(-α) = cosα pOn{qgv  
{+%fM3B~{  
　　sin(π/2-α) = cosα /= J Yz3  
h\yGI]f  
　　cos(π/2-α) = sinα T{<MNb  
ceqWU $A  
　　sin(π/2+α) = cosα VGNAP}R#  
\*Z5h &rt  
　　cos(π/2+α) = -sinα xqQlG}](  
y@`>1  
　　sin(π-α) = sinα ~ >h&H}R  
&1VtDks{  
　　cos(π-α) = -cosα  Z)pS>(%J  
_=4%k  
　　sin(π+α) = -sinα }G&bU -  
h_0"29>  
　　cos(π+α) = -cosα >;QH i  
7D}/T^N~]  
　　tanA= sinA/cosA qDc&O 9  
Q+W ?gL2  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ^w@QpZ4`  
AZgSdPQRZ  
　　tan（π/2－α）＝cotα sgRGx #\  
a soR N  
　　tan（π－α）＝－tanα T1nPz\  
`affvdY  
　　tan（π＋α）＝tanα (oN c`'4  
~R "#C&J  
万能公式 z=Jw$;P#D  
4!kwu U  
　　 zB=>E~v  
I3A4q|)v  
其它公式 c\zl2 5}!  
*:I;$!  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 6v<{tLg  
@o]Ich}Eh|  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 %lh;x7  
0P`e"<)O  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ;Th" r2xf  
I'jbM:S>  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 8cG(z!($V  
)re@^Cu  
　　对于任意非直角三角形,总有 CR6] q  
7Gw|M'Xm  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ( lXb  
5M4qakf"  
　　证: x2i_Mm7!  
jn`5Tb  
　　A+B=π-C bKi9f S*0  
X(7_7oB\  
　　tan(A+B)=tan(π-C) i ^QW`  
?u\j1o&y7}  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) %%4tF m  
Z^.e*A#yP  
　　整理可得 7 3)UE0P1b  
\\*Mda(  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC %C@}a`1u  
.:'sP 2k  
　　得证 C ^O(}Sj  
4 FtxSpS3  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 F{9 ec  
^Jn 0  
其他非重点三角函数 \k^xo?~>O  
NkD.-&p&H  
　　csc(a) = 1/sin(a) $)t@BB%l L  
~"I!|KaH  
　　sec(a) = 1/cos(a) IL eezQt7E  
_,j~5Go]<8  
　　 c) \ L}Ri  
HPROI  
双曲函数 lR)@VQn  
J~I;@4}x  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 c )> zA  
Yoy,4&%  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 aYOtN<(  
E)cC9K  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) iM[~nie~t  
-tDjiKy4  
　　公式一： =cA4b)?n  
v+O;B"|X  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 7dwW\ (,  
NT BM q  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ,`F\#w  
Xlo*1$|1  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 63EVC4&N  
u_qsdTY$%  
　　tan（kπ＋α）= tanα >QSr(,:  
'etMjn$@I  
　　cot（kπ＋α）= cotα ;i1,w5f  
HG:mohs  
　　公式二： q VW7YGzpA  
9vvfk]/  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ~ nM6,  
Uy?4P4s+ b  
　　sin（π＋α）= -sinα y)q U,?  
 YR9AQA  
　　cos（π＋α）= -cosα 0.)*/ ,  
1$C2gDB  
　　tan（π＋α）= tanα [d;Mcc!R  
=;WgU}L  
　　cot（π＋α）= cotα f*??M^S*v  
I)8<GkvH  
　　公式三： hf4NEASLb  
~3G#z  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： >d>$w'a  
u9ME,7.w  
　　sin（-α）= -sinα mYt"~d[  
4.zI,YrL`  
　　cos（-α）= cosα Q-RAu 1  
Oqt.-qo  
　　tan（-α）= -tanα }+y}&A[e  
OqfI(YP^D  
　　cot（-α）= -cotα vY_rElv  
:[B<mU"  
　　公式四： -q3G~s?~  
'qj( G  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 7z:yX{6`  
N]_;2l&?M  
　　sin（π-α）= sinα U Ul\:]@  
7^#3lioW  
　　cos（π-α）= -cosα k vz%Oj  
7gL78l?y  
　　tan（π-α）= -tanα 7h$RI#e  
CD-<cXn(  
　　cot（π-α）= -cotα H`nc#\t  
T*p*STb  
　　公式五： /9O8N':er}  
"vIS0s0;Wa  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ]gk|uUyQ3  
2I*wR>y/  
　　sin（2π-α）= -sinα :;ROI;^<  
o YrA">y  
　　cos（2π-α）= cosα R9=d-;|R  
]_$n^ai#  
　　tan（2π-α）= -tanα )Q|5mnKL  
k4;PYFpka  
　　cot（2π-α）= -cotα E :1 {|S e  
I$f>hETPL  
　　公式六： B0kP-"  
.sf@B$1+  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： }f_[.r[-  
B*)|U@6  
　　sin（π/2+α）= cosα U]F[H <v  
*rY+h\~  
　　cos（π/2+α）= -sinα J% A|+]%)  
RU~Q~3ez  
　　tan（π/2+α）= -cotα *SH\1Kb  
!@soo  
　　cot（π/2+α）= -tanα uWI8kN~  
B~O|LD=-oS  
　　sin（π/2-α）= cosα zo3RM(  
Rm>m@-j2a  
　　cos（π/2-α）= sinα =rv^4I{  
:eOG|3n  
　　tan（π/2-α）= cotα I UA|%_Nn  
K&a)q(aC  
　　cot（π/2-α）= tanα V"Z$f^70,  
i;VdC:/#B  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Y\=CQFRu  
|GGSa+KS  
　　cos（3π/2+α）= sinα p=L,o4sv`  
Ot(#mTO=J  
　　tan（3π/2+α）= -cotα _\[7J/x8r  
o|KTKYtN{  
　　cot（3π/2+α）= -tanα b$"nDkh<  
Wi)%ND  
　　sin（3π/2-α）= -cosα F@H$8  wJ  
]&eAu%g3  
　　cos（3π/2-α）= -sinα dMCL#z@3`e  
fW$dB0qA  
　　tan（3π/2-α）= cotα ?-ka>e  
iirT0bZ  
　　cot（3π/2-α）= tanα o/,>c Z  
NG}=a%ts  
　　(以上k∈Z) {Kj%yvd [  
JfL,*vO  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 F"J*\97CS  
$a7~]!ZC  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = K}K1 5p3  
T$KttX '  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ;h$Me *F  
B}>>0](t  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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